题目

设A, B是n阶方阵，则下列等式中恒成立的是(）。 A. AB = BAB. (AB)^2 = A^2B^2C. |AB| = |BA|D. (AB)^T = A^T B^T

设$A, B$是$n$阶方阵，则下列等式中恒成立的是(）。

  • A. $AB = BA$
  • B. $(AB)^2 = A^2B^2$
  • C. $|AB| = |BA|$
  • D. $(AB)^T = A^T B^T$

题目解答

答案

**答案：C** **解析：** - **选项A：** 矩阵乘法不满足交换律，即 $AB \neq BA$，故不恒成立。 - **选项B：** 展开得 $(AB)^2 = A(BA)B$，需满足 $BA = AB$，但矩阵乘法不交换，故不恒成立。 - **选项C：** 由行列式性质 $|AB| = |A||B| = |B||A| = |BA|$，恒成立。 - **选项D：** 转置性质为 $(AB)^T = B^T A^T$，与选项不符，故不恒成立。 **答案：C**

解析

本题考查矩阵运算的基本性质，重点在于理解矩阵乘法的非交换性、行列式性质及转置运算规则。解题核心思路是：

  1. 矩阵乘法不满足交换律，因此涉及乘法顺序的选项需谨慎判断；
  2. 行列式的乘积性质与矩阵顺序无关；
  3. 转置运算的顺序规则需特别注意。

选项分析

A. $AB = BA$

  • 矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$。例如，若 $A$ 为非零矩阵且 $B$ 为非对称矩阵，则乘积通常不相等。因此该等式不恒成立。

B. $(AB)^2 = A^2B^2$

  • 展开左边：$(AB)^2 = AB \cdot AB = A(BA)B$。
  • 若 $BA \neq AB$（一般情况），则 $A(BA)B \neq AAB B = A^2B^2$。因此该等式不恒成立。

C. $|AB| = |BA|$

  • 行列式性质：$|AB| = |A||B|$，同理 $|BA| = |B||A|$。
  • 由于乘法交换律在标量行列式中成立，故 $|AB| = |BA|$ 恒成立。

D. $(AB)^T = A^T B^T$

  • 转置运算规则：$(AB)^T = B^T A^T$，而选项中顺序为 $A^T B^T$，两者一般不相等。因此该等式不恒成立。