11.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1和0.095。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品．则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率p； (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率q。

本题考查全概率公式和贝叶斯定理的应用。

1. 第（1）问的核心是计算顾客买下箱子的概率，即检查四只无残次品的概率。需考虑箱子可能含0、1、2只残次品三种情况，分别计算对应条件下检查通过的概率，再通过全概率公式加权求和。
2. 第（2）问要求计算在买下的箱子中确实无残次品的后验概率，需用贝叶斯定理，结合第（1）问的结果进行计算。

第（1）题

设事件$A_i$表示箱子含$i$只残次品（$i=0,1,2$），对应概率为$P(A_0)=0.8$，$P(A_1)=0.1$，$P(A_2)=0.095$。事件$B$表示检查四只无残次品。

计算各条件概率

• 当$A_0$发生时：箱子无残次品，检查四只必然无残次品，故$P(B|A_0)=1$。
• 当$A_1$发生时：箱子含1只残次品，需从19只好杯中选4只，概率为：
  $P(B|A_1) = \frac{C_{19}^4}{C_{20}^4} = \frac{3876}{4845} \approx 0.8003$
• 当$A_2$发生时：箱子含2只残次品，需从18只好杯中选4只，概率为：
  $P(B|A_2) = \frac{C_{18}^4}{C_{20}^4} = \frac{3060}{4845} \approx 0.6316$

全概率公式求和

$\begin{aligned}P(B) &= P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) \\&= 0.8 \times 1 + 0.1 \times 0.8003 + 0.095 \times 0.6316 \\&\approx 0.8 + 0.08003 + 0.059997 \\&\approx 0.94\end{aligned}$

第（2）题

用贝叶斯定理计算后验概率：
$P(A_0|B) = \frac{P(A_0)P(B|A_0)}{P(B)} = \frac{0.8 \times 1}{0.94} \approx 0.8511 \approx 0.85$