题目
15. 二维随机变量 (X,Y) 在以 (-1,0), (0,1), (1,0) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 Z = X + Y 的概率密度。
15. 二维随机变量 (X,Y) 在以 (-1,0), (0,1), (1,0) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 Z = X + Y 的概率密度。
题目解答
答案
1. **确定联合概率密度函数**：
三角形区域顶点为 $(-1,0)$、$(0,1)$、$(1,0)$，面积为1，故联合密度函数为
\[
f(x,y) = \begin{cases}
1 & \text{若 } (x,y) \text{在三角形内} \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
\]
2. **转换变量**：
设 $Z = X + Y$，则
\[
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) \, dx
\]
3. **确定积分范围**：
对于 $-1 \leq z \leq 1$，
\[
f_Z(z) = \int_{\max\left(-z, \frac{z-1}{2}\right)}^{\min\left(z, \frac{z+1}{2}\right)} 1 \, dx = \frac{z+1}{2}
\]
4. **结果**：
\[
\boxed{
\begin{cases}
\frac{z+1}{2} & -1 \leq z \leq 1 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
}
\]