题目
求微分方程 '=yln dfrac (y)(x) 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简方程
原方程可化为 $y'=\dfrac {y}{x}\ln \dfrac {y}{x}$。这是一个齐次方程。
步骤 2：引入变量替换
令 $y=ux$，则 $y'=u+xu'$，代入方程，可得 $u+xu'=u\ln u$。
步骤 3：分离变量
将方程分离变量，得 $\dfrac {1}{u(\ln u-1)}du=\dfrac {1}{x}dx$，$(u(\ln u-1)\neq 0)$。
步骤 4：积分
两端积分，得 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+{C}_{1}$。
步骤 5：化简
整理化简，得 $\ln u=1+Cx$ (其中 $C=\pm {e}^{{C}_{1}}$)。
步骤 6：代回原变量
以 $\dfrac {y}{x}$ 代替u，得 $y=x{e}^{1+{C}_{x}}^{2}$ (其中 $C\neq 0$)。
步骤 7：考虑特殊情况
当 $u(\ln u-1)=0$ 时，可得 $y=ex$ 是原方程的解，此时取 $C=0$，便有 $y=x{e}^{1+cx}=ex$。
原方程可化为 $y'=\dfrac {y}{x}\ln \dfrac {y}{x}$。这是一个齐次方程。
步骤 2：引入变量替换
令 $y=ux$，则 $y'=u+xu'$，代入方程，可得 $u+xu'=u\ln u$。
步骤 3：分离变量
将方程分离变量，得 $\dfrac {1}{u(\ln u-1)}du=\dfrac {1}{x}dx$，$(u(\ln u-1)\neq 0)$。
步骤 4：积分
两端积分，得 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+{C}_{1}$。
步骤 5：化简
整理化简，得 $\ln u=1+Cx$ (其中 $C=\pm {e}^{{C}_{1}}$)。
步骤 6：代回原变量
以 $\dfrac {y}{x}$ 代替u，得 $y=x{e}^{1+{C}_{x}}^{2}$ (其中 $C\neq 0$)。
步骤 7：考虑特殊情况
当 $u(\ln u-1)=0$ 时，可得 $y=ex$ 是原方程的解，此时取 $C=0$，便有 $y=x{e}^{1+cx}=ex$。