写出 y=2^x/(2^x+1) 的反函数_

考查要点：本题主要考查反函数的概念及求法，需要掌握函数与反函数之间的变量互换关系，并熟练运用代数变形和对数运算求解。

解题核心思路：

1. 将原函数表达式中的x和y互换，建立关于y的新方程。
2. 通过代数变形解出y，最终得到反函数表达式。
3. 注意原函数的值域，确保反函数的定义域合理。

破题关键点：

• 分离变量：通过移项将含有指数项的项集中，利用对数运算消去指数。
• 对数运算：正确应用对数的定义，将指数方程转化为线性表达式。

原函数为 $y = \frac{2^x}{2^x + 1}$，求其反函数：

步骤1：交换变量并建立方程

将原式中的 $x$ 和 $y$ 互换，得到方程：
$x = \frac{2^y}{2^y + 1}$

步骤2：解方程求 $y$

1. 两边同乘分母：
   $x(2^y + 1) = 2^y$
2. 展开并整理项：
   $x \cdot 2^y + x = 2^y$
   $x = 2^y - x \cdot 2^y$
   $x = 2^y(1 - x)$
3. 分离 $2^y$：
   $2^y = \frac{x}{1 - x}$
4. 取对数消去指数：
   $y = \log_2 \left( \frac{x}{1 - x} \right)$

步骤3：确定反函数形式

最终反函数为：
$f^{-1}(x) = \log_2 \left( \frac{x}{1 - x} \right)$