题目
设S=(0,1,2,3),⑧为模4乘法,即"⑧x,y∈S, x⑧y=(xy)mod 4问〈S,⑧〉是否构成群?为什么?
设S={0,1,2,3},
为模4乘法,即
"
x,y∈S, xy=(xy)mod 4
问〈S,〉是否构成群?为什么?
题目解答
答案
解:(1) x,y∈S, xy=(xy)mod 4
,是S上的代数运算。
(2) x,y,z∈S,设xy=4k+r 
(xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4
=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4
同理x(yz) =(xyz)mod 4
所以,(xy)z = x(yz),结合律成立。
(3) x∈S, (x1)=(1x)=x,,所以1是单位元。
(4)
0和2没有逆元
所以,〈S,〉不构成群
解析
步骤 1：验证代数运算
首先，我们需要验证⑧是否是S上的代数运算。即对于任意的x,y∈S，x⑧y=(xy)mod 4是否仍然属于S。
步骤 2：验证结合律
接下来，我们需要验证结合律是否成立。即对于任意的x,y,z∈S，(x⑧y)⑧z是否等于x⑧(y⑧z)。
步骤 3：验证单位元
然后，我们需要验证是否存在单位元。即是否存在一个元素e∈S，使得对于任意的x∈S，x⑧e=e⑧x=x。
步骤 4：验证逆元
最后，我们需要验证每个元素是否都有逆元。即对于任意的x∈S，是否存在一个元素y∈S，使得x⑧y=y⑧x=e，其中e是单位元。
首先，我们需要验证⑧是否是S上的代数运算。即对于任意的x,y∈S，x⑧y=(xy)mod 4是否仍然属于S。
步骤 2：验证结合律
接下来，我们需要验证结合律是否成立。即对于任意的x,y,z∈S，(x⑧y)⑧z是否等于x⑧(y⑧z)。
步骤 3：验证单位元
然后，我们需要验证是否存在单位元。即是否存在一个元素e∈S，使得对于任意的x∈S，x⑧e=e⑧x=x。
步骤 4：验证逆元
最后，我们需要验证每个元素是否都有逆元。即对于任意的x∈S，是否存在一个元素y∈S，使得x⑧y=y⑧x=e，其中e是单位元。