lim _(xarrow 0)((dfrac {1+{2)^x}(2))}^dfrac (1{x)}= __

考查要点：本题主要考查指数函数的极限计算，涉及自然对数转换、泰勒展开或等价无穷小替换的应用，以及极限运算的技巧。

解题核心思路：
将原式转化为指数形式，利用自然对数简化计算。通过展开或替换，将复杂表达式转化为基本极限形式，最终结合指数函数还原结果。

破题关键点：

1. 自然对数转换：将原式写成$e^{\lim f(x)}$的形式，简化指数部分的极限计算。
2. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$2^x -1 \sim x \ln 2$，用于简化对数内的表达式。
3. 极限运算：通过代入等价无穷小或洛必达法则，求出指数部分的极限值。

步骤1：自然对数转换
原式可改写为：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + 2^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \exp\left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1 + 2^x}{2} \right) \right)$

步骤2：简化对数表达式
当$x \to 0$时，$2^x \approx 1 + x \ln 2$（泰勒展开一阶项），代入得：
$\frac{1 + 2^x}{2} \approx \frac{1 + (1 + x \ln 2)}{2} = 1 + \frac{x \ln 2}{2}$

步骤3：应用等价无穷小
对数部分展开为：
$\ln\left(1 + \frac{x \ln 2}{2}\right) \approx \frac{x \ln 2}{2} \quad (\text{当} \ x \to 0)$

步骤4：计算指数部分的极限
将上述近似代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x \ln 2}{2} = \frac{\ln 2}{2}$

步骤5：还原指数形式
最终结果为：
$\exp\left( \frac{\ln 2}{2} \right) = e^{\ln \sqrt{2}} = \sqrt{2}$