求级数sum _(n=1)^infty dfrac ({4)^n}(2+{n)^3}(x)^n的收敛区间?

步骤 1：应用比值判别法
首先，我们应用比值判别法来确定级数的收敛半径。比值判别法的公式为：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L
$$
其中，$a_n = \frac{4^n}{2+n^3}x^n$。我们需要计算：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{4^{n+1}}{2+(n+1)^3}x^{n+1}}{\frac{4^n}{2+n^3}x^n} \right|
$$
步骤 2：简化表达式
简化上述表达式，我们得到：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{4^{n+1}x^{n+1}(2+n^3)}{4^n x^n (2+(n+1)^3)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{4x(2+n^3)}{2+(n+1)^3} \right|
$$
步骤 3：计算极限
计算上述极限，我们得到：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{4x(2+n^3)}{2+(n+1)^3} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{4x}{1+\frac{3n^2+3n+1}{n^3}} \right| = 4|x|
$$
步骤 4：确定收敛半径
根据比值判别法，当$4|x| < 1$时，级数绝对收敛。因此，收敛半径为$\frac{1}{4}$。
步骤 5：检查端点
当$x = \frac{1}{4}$时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{2+{n}^{3}}$，这是一个收敛的级数。
当$x = -\frac{1}{4}$时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{2+{n}^{3}}$，这是一个收敛的交错级数。