初值问题 =sqrt {{x)^2-(x)^2(y)^2+1-(y)^2} y(0)=-dfrac (1)(2) .

步骤 1：验证初值条件
首先，我们需要验证每个选项在$x=0$时的值是否等于$-\dfrac{1}{2}$，因为这是初值条件。
步骤 2：计算每个选项在$x=0$时的值
对于A选项：$y=\ln (x+1+\dfrac{\pi}{6})$
$y(0)=\ln (1+\dfrac{\pi}{6})\neq -\dfrac{1}{2}$
对于B选项：$y={x}^{2}+\arctan {x}^{2}+\arctan x$
$y(0)={0}^{2}+\arctan {0}^{2}+\arctan 0=0\neq -\dfrac{1}{2}$
对于C选项：$y=\tan (x+\dfrac{\pi}{4}-1)$
$y(0)=\tan (\dfrac{\pi}{4}-1)\neq -\dfrac{1}{2}$
对于D选项：$y=\sin (\dfrac{x}{2}\sqrt{1+{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}\ln (x+\sqrt{1+{x}^{2}})-\dfrac{\pi}{6})$
$y(0)=\sin (0\times 1+\dfrac{1}{2}\ln (0+1)-\dfrac{\pi}{6})$
$=\sin (-\dfrac{\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$
步骤 3：验证微分方程
由于只有D选项满足初值条件，我们只需验证D选项是否满足微分方程。
$y=\sin (\dfrac{x}{2}\sqrt{1+{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}\ln (x+\sqrt{1+{x}^{2}})-\dfrac{\pi}{6})$
计算$\dfrac{dy}{dx}$，并验证是否等于$\sqrt{{x}^{2}-{x}^{2}{y}^{2}+1-{y}^{2}}$。