⑤设随机变量 _(i)(i=1,2) 的分布律为-|||-X。 -1 0 1-|||-P 1/4 1/2 1/4-|||-且满足 ((X)_(1)(X)_(2)=0)=1, 试求X1和X2的联合分布律,并求-|||-概率 ((X)_(1)=(X)_(2)).

题目考察知识

本题主要考察二维随机变量的联合分布律求解，需结合边缘分布律和已知条件进行分析。

解题思路

1. 确定联合分布律的结构

随机变量$X_1,X_2$的可能取值均为$-1,0,1$，因此联合分布律是$3×3$的表格，包含$9$个概率值$p_{ij}=P(X_1=i,X_2=j)$（$i,j=-1,0,1$）。已知边缘分布律：$P(X_1=-1)=P(X_1=1)=1/4$，$P(X_1=0)=1/2$；$P(X_2=-1)=P(X_2=1)=1/4$，$P(X_2=0)=1/2$。

2. 利用条件$P(X_1X_2=0)=1$

$X_1X_2=0$等价于“$X_1=0$或$X_2=0$”，其对立事件是“$X_1≠0$且$X_2≠0$”。已知$P(X_1X_2=0)=1$，则对立事件概率为$0$，即：
$P(X_1=-1,X_2=-1)=P(X_1=-1,X_2=1)=P(X_1=1,X_2=-1)=P(X_1=1,X_2=1)=0$。

3. 计算剩余概率

根据边缘分布律公式$P(X_1=i)=\sum_{j=-1,0,1}p_{ij}$：

• 对$X_1=-1$：$p_{-1,-1}+p_{-1,0}+p_{-1,1}=1/4$，因$p_{-1,-1}=p_{-1,1}=0$，故$p_{-1,0}=1/4$；
• 对$X_1=1$：同理得$p_{1,0}=1/4$；
• 对$X_1=0$：$p_{0,-1}+p_{0,0}+p_{0,1}=1/2$，结合$X_2$的边缘分布：
  $P(X_2=-1)=p_{-1,-1}+p_{0,-1}+p_{1,-1}=1/4$，得$p_{0,-1}=1/4$；
  $P(X_2=1)=p_{-1,1}+p_{0,1}+p_{1,1}=1/4$，得$p_{0,1}=1/4$；
  代入$X_1=0$的边缘分布：$1/4+p_{0,0}+1/4=1/2$，得$p_{0,0}=0$。

4. 计算$P(X_1=X_2)$

$X_1=X_2$的情况为$(-1,-1),(0,0),(1,1)$，对应概率之和为：
$P(X_1=-1,X_2=-1)+P(X_1=0,X_2=0)+P(X_1=1,X_2=1)=0+0+0=0$。

联合分布律表格

$\begin{array}{c|ccc|c}X_2\backslash X_1 & -1 & 0 & 1 & P(X_2=j) \\\hline-1 & 0 & 1/4 & 0 & 1/4 \\0 & 1/4 & 0 & 1/4 & 1/2 \\1 & 0 & 1/4 & 0 & 1/4 \\\hlineP(X_1=i) & 1/4 & 1/2 & 1/4 & 1\end{array}$