题目
05 设f(u)为连续函数，且int_(0)^xtf(2x-t)dt=(1)/(2)(1+x^2)，f(1)=1.则int_(1)^2f(x)dx=A. (1)/(4).B. (1)/(2).C. (3)/(4).D. 1.
05 设f(u)为连续函数，且$\int_{0}^{x}tf(2x-t)dt=\frac{1}{2}(1+x^{2})$，f(1)=1.则$\int_{1}^{2}f(x)dx=$
A. $\frac{1}{4}.$
B. $\frac{1}{2}.$
C. $\frac{3}{4}.$
D. 1.
题目解答
答案
D. 1.
解析
步骤 1：变量替换
令 $u = 2x - t$，则 $t = 2x - u$，$dt = -du$。原积分变为： \[ \int_{x}^{2x} (2x - u) f(u) \, du = 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du = \frac{1}{2}(1 + x^2) \]
步骤 2：求导
对两边求导得： \[ 2 \int_{x}^{2x} f(u) \, du - x f(x) = x \]
步骤 3：代入 $x = 1$
令 $x = 1$，得： \[ 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du - f(1) = 1 \] 已知 $f(1) = 1$，解得： \[ \int_{1}^{2} f(u) \, du = 1 \]
令 $u = 2x - t$，则 $t = 2x - u$，$dt = -du$。原积分变为： \[ \int_{x}^{2x} (2x - u) f(u) \, du = 2x \int_{x}^{2x} f(u) \, du - \int_{x}^{2x} u f(u) \, du = \frac{1}{2}(1 + x^2) \]
步骤 2：求导
对两边求导得： \[ 2 \int_{x}^{2x} f(u) \, du - x f(x) = x \]
步骤 3：代入 $x = 1$
令 $x = 1$，得： \[ 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du - f(1) = 1 \] 已知 $f(1) = 1$，解得： \[ \int_{1}^{2} f(u) \, du = 1 \]