题目
一、函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定【例6】(1987,数三)f(x)=|xsin x|e^cos x(-infty<+infty)是(A)有界函数. (B)单调函数.(C)周期函数. (D)偶函数.
一、函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定
【例6】(1987,数三)$f(x)=|x\sin x|e^{\cos x}(-\infty<+\infty)$是
(A)有界函数. (B)单调函数.
(C)周期函数. (D)偶函数.
题目解答
答案
**答案：D**
**解析：**
- **有界性（A）**：
当 $ x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} $ 时，$ f(x) = |x| e^{\cos x} $，随 $ x $ 增大无界，排除。
- **单调性（B）**：
$ f(x) $ 周期性变化（如 $ x = 2n\pi $ 时 $ f(x) = 0 $），非单调，排除。
- **周期性（C）**：
$ |x \sin x| $ 中 $ x $ 项导致非周期，排除。
- **偶函数（D）**：
$ f(-x) = |(-x) \sin(-x)| e^{\cos(-x)} = |x \sin x| e^{\cos x} = f(x) $，满足偶函数定义。
**答案：D**
解析
步骤 1：有界性（A）
- 当 $ x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} $ 时，$ f(x) = |x| e^{\cos x} $，随 $ x $ 增大无界，排除。
步骤 2：单调性（B）
- $ f(x) $ 周期性变化（如 $ x = 2n\pi $ 时 $ f(x) = 0 $），非单调，排除。
步骤 3：周期性（C）
- $ |x \sin x| $ 中 $ x $ 项导致非周期，排除。
步骤 4：偶函数（D）
- $ f(-x) = |(-x) \sin(-x)| e^{\cos(-x)} = |x \sin x| e^{\cos x} = f(x) $，满足偶函数定义。
- 当 $ x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} $ 时，$ f(x) = |x| e^{\cos x} $，随 $ x $ 增大无界，排除。
步骤 2：单调性（B）
- $ f(x) $ 周期性变化（如 $ x = 2n\pi $ 时 $ f(x) = 0 $），非单调，排除。
步骤 3：周期性（C）
- $ |x \sin x| $ 中 $ x $ 项导致非周期，排除。
步骤 4：偶函数（D）
- $ f(-x) = |(-x) \sin(-x)| e^{\cos(-x)} = |x \sin x| e^{\cos x} = f(x) $，满足偶函数定义。