题目

求微分方程dfrac (dy)(dx)=3(x)^2y-|||-__的通解.

求微分方程 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$ 的通解.

题目解答

答案

解当 $y\neq 0$ 时.将所给方程分离变量,得 $\frac{dy}{y}=3x^{2}dx$ .

两端分别积分,有 $\int \frac{dy}{y}=\int 3x^{2}dx+C_{1}$ .

积分后,得 $ln\left |y\right |=x^{3}+C_{1}$ ,

从而有 $\left |y\right |=e^{x^{3}+C_{1}}=e^{C_{1}}e^{x^{3}}$ ,即 $y=\pm e^{C_{1}}e^{x^{3}}$ .

由于 $\pm e^{C_{1}}$ 仍是任意常数,把它记作C.于是所给方程的通解为 $y=Ce^{x^{3}}$ .

解析

步骤 1：分离变量
将微分方程$\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$分离变量，得到$\frac{dy}{y}=3x^{2}dx$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分，得到$\int \frac{dy}{y}=\int 3x^{2}dx+C_{1}$。
步骤 3：求解
积分后，得到$ln\left |y\right |=x^{3}+C_{1}$，从而有$\left |y\right |=e^{x^{3}+C_{1}}=e^{C_{1}}e^{x^{3}}$，即$y=\pm e^{C_{1}}e^{x^{3}}$。由于$\pm e^{C_{1}}$仍是任意常数，把它记作C。