6.设平面曲线 :y=(x)^2(0leqslant xleqslant 1) ,则曲线积分 int xds= __

考查要点：本题主要考查对曲线积分的理解与计算，特别是对弧长元素$ds$的表达式及其在直角坐标系下的应用。

解题核心思路：

1. 确定弧长元素$ds$：当曲线$y = y(x)$在区间$[a, b]$上时，弧长元素$ds = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, dx$。
2. 转化为定积分：将曲线积分$\int_L x \, ds$转化为关于$x$的定积分，代入$ds$的表达式。
3. 变量替换法求解积分：通过合理的变量替换简化积分表达式，最终计算定积分。

破题关键点：

• 正确表达$ds$：根据曲线方程$y = x^2$，计算$y'(x) = 2x$，代入弧长公式。
• 选择合适的变量替换：令$t = 1 + 4x^2$，将积分转化为关于$t$的简单形式。

步骤1：表达弧长元素$ds$
曲线方程为$y = x^2$，则$y'(x) = 2x$。根据弧长公式：
$ds = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, dx = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.$

步骤2：转化为定积分
原曲线积分可表示为：
$\int_L x \, ds = \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.$

步骤3：变量替换法求解积分
令$t = 1 + 4x^2$，则$dt = 8x \, dx$，即$x \, dx = \frac{dt}{8}$。
当$x = 0$时，$t = 1$；当$x = 1$时，$t = 5$。
积分变为：
$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx = \frac{1}{8} \int_{1}^{5} \sqrt{t} \, dt.$

步骤4：计算定积分
$\frac{1}{8} \int_{1}^{5} t^{1/2} \, dt = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} \Big|_{1}^{5} = \frac{1}{12} \left(5\sqrt{5} - 1\right).$