题目
有编号为1，2，…，n的n个空盒子（n≥2，n∈N），另有编号为1，2，…，k的k个球（2≤k≤n，k∈N），现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为P（n，k）．（1）求P（3，3）；（2）当n≥3时，求P（n，3）；（3）求P（n，k）．有编号为1，2，…，n的n个空盒子（n≥2，n∈N），另有编号为1，2，…，k的k个球（2≤k≤n，k∈N），现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为P（n，k）．（1）求P（3，3）；（2）当n≥3时，求P（n，3）；（3）求P（n，k）．
有编号为1，2，…，n的n个空盒子（n≥2，n∈N），另有编号为1，2，…，k的k个球（2≤k≤n，k∈N），现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为P（n，k）．
（1）求P（3，3）；
（2）当n≥3时，求P（n，3）；
（3）求P（n，k）．
有编号为1，2，…，n的n个空盒子（n≥2，n∈N），另有编号为1，2，…，k的k个球（2≤k≤n，k∈N），现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为P（n，k）．
（1）求P（3，3）；
（2）当n≥3时，求P（n，3）；
（3）求P（n，k）．
（1）求P（3，3）；
（2）当n≥3时，求P（n，3）；
（3）求P（n，k）．
有编号为1，2，…，n的n个空盒子（n≥2，n∈N），另有编号为1，2，…，k的k个球（2≤k≤n，k∈N），现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为P（n，k）．
（1）求P（3，3）；
（2）当n≥3时，求P（n，3）；
（3）求P（n，k）．
题目解答
答案
解：（1）1号球放入1号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，此时2，3号球分别放入2，3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，
欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为$\frac{1}{2}$，
1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，
综上所述：P（3，3）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为$\frac{n-2}{n}$，
此时3号球可放入3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，欲使3号球放入3号盒中，
则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为$\frac{n-2}{n}$，
1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，
综上，P（n，3）=$\frac{n-2}{n}$+$\frac{1}{n}×\frac{n-2}{n-1}$=$\frac{n-2}{n-1}$．
（3）1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为$\frac{n-k+1}{n}$，
此时，k号球可放入k号盒中，
1号球放入j（2≤j≤k-1）号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，
此时2号，3号，…，j-1号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1，j+1，j+2，…，n的空盒，
此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让k号盒中的放法总数等价于将编号为1，2，…，k的球，
按照题设规则放入编号为1，2，…，n-j+1的盒中（1号球仍随机选择一个盒子放入），
∴概率为P（n-j+1，k-j+1），
1号球放入k号盒时，此时k号球不能放入k号盒中，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n}$+$\frac{1}{n}$×$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-k+1，k-j+1）$，
整理得nP（n，k）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-j+1，k-j+1）$，①
分别有n-1和k-1替换n和k，可得：
（n-1）P（n-1，k-1）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-2}P（n-j+1，k-j+1）$，②
由①②式相减，整理得：P（n，k）=P（n-1，k-1），
P（n-k+2，2）等于1号球不放在2号盒的概率，
∴P（n-k+2，2）=1-$\frac{1}{n-k+2}$=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$．
解：（1）1号球放入1号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，此时2，3号球分别放入2，3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，
欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为$\frac{1}{2}$，
1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，
综上所述：P（3，3）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为$\frac{n-2}{n}$，
此时3号球可放入3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，欲使3号球放入3号盒中，
则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为$\frac{n-2}{n}$，
1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，
综上，P（n，3）=$\frac{n-2}{n}$+$\frac{1}{n}×\frac{n-2}{n-1}$=$\frac{n-2}{n-1}$．
（3）1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为$\frac{n-k+1}{n}$，
此时，k号球可放入k号盒中，
1号球放入j（2≤j≤k-1）号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，
此时2号，3号，…，j-1号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1，j+1，j+2，…，n的空盒，
此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让k号盒中的放法总数等价于将编号为1，2，…，k的球，
按照题设规则放入编号为1，2，…，n-j+1的盒中（1号球仍随机选择一个盒子放入），
∴概率为P（n-j+1，k-j+1），
1号球放入k号盒时，此时k号球不能放入k号盒中，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n}$+$\frac{1}{n}$×$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-k+1，k-j+1）$，
整理得nP（n，k）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-j+1，k-j+1）$，①
分别有n-1和k-1替换n和k，可得：
（n-1）P（n-1，k-1）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-2}P（n-j+1，k-j+1）$，②
由①②式相减，整理得：P（n，k）=P（n-1，k-1），
P（n-k+2，2）等于1号球不放在2号盒的概率，
∴P（n-k+2，2）=1-$\frac{1}{n-k+2}$=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$．
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，
欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为$\frac{1}{2}$，
1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，
综上所述：P（3，3）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为$\frac{n-2}{n}$，
此时3号球可放入3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，欲使3号球放入3号盒中，
则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为$\frac{n-2}{n}$，
1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，
综上，P（n，3）=$\frac{n-2}{n}$+$\frac{1}{n}×\frac{n-2}{n-1}$=$\frac{n-2}{n-1}$．
（3）1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为$\frac{n-k+1}{n}$，
此时，k号球可放入k号盒中，
1号球放入j（2≤j≤k-1）号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，
此时2号，3号，…，j-1号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1，j+1，j+2，…，n的空盒，
此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让k号盒中的放法总数等价于将编号为1，2，…，k的球，
按照题设规则放入编号为1，2，…，n-j+1的盒中（1号球仍随机选择一个盒子放入），
∴概率为P（n-j+1，k-j+1），
1号球放入k号盒时，此时k号球不能放入k号盒中，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n}$+$\frac{1}{n}$×$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-k+1，k-j+1）$，
整理得nP（n，k）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-j+1，k-j+1）$，①
分别有n-1和k-1替换n和k，可得：
（n-1）P（n-1，k-1）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-2}P（n-j+1，k-j+1）$，②
由①②式相减，整理得：P（n，k）=P（n-1，k-1），
P（n-k+2，2）等于1号球不放在2号盒的概率，
∴P（n-k+2，2）=1-$\frac{1}{n-k+2}$=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$．
解：（1）1号球放入1号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，此时2，3号球分别放入2，3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{3}$，
欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为$\frac{1}{2}$，
1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，
综上所述：P（3，3）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为$\frac{n-2}{n}$，
此时3号球可放入3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，欲使3号球放入3号盒中，
则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为$\frac{n-2}{n}$，
1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，
综上，P（n，3）=$\frac{n-2}{n}$+$\frac{1}{n}×\frac{n-2}{n-1}$=$\frac{n-2}{n-1}$．
（3）1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为$\frac{n-k+1}{n}$，
此时，k号球可放入k号盒中，
1号球放入j（2≤j≤k-1）号盒中的概率为$\frac{1}{n}$，
此时2号，3号，…，j-1号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1，j+1，j+2，…，n的空盒，
此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让k号盒中的放法总数等价于将编号为1，2，…，k的球，
按照题设规则放入编号为1，2，…，n-j+1的盒中（1号球仍随机选择一个盒子放入），
∴概率为P（n-j+1，k-j+1），
1号球放入k号盒时，此时k号球不能放入k号盒中，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n}$+$\frac{1}{n}$×$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-k+1，k-j+1）$，
整理得nP（n，k）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-1}P（n-j+1，k-j+1）$，①
分别有n-1和k-1替换n和k，可得：
（n-1）P（n-1，k-1）=（n-k+1）+$\sum_{j=2}^{k-2}P（n-j+1，k-j+1）$，②
由①②式相减，整理得：P（n，k）=P（n-1，k-1），
P（n-k+2，2）等于1号球不放在2号盒的概率，
∴P（n-k+2，2）=1-$\frac{1}{n-k+2}$=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$，
∴P（n，k）=$\frac{n-k+1}{n-k+2}$．