题目
2.已知数列(xn),其中 -dfrac (pi )(2)leqslant (x)_(n)leqslant dfrac (pi )(2) ,则 ()-|||-(A)当lim cos(sin xn)存在时,limxn存在-|||-(B)当lim sin(cosxn )存在时,limxn存在-|||-(C)当lim cos(sinxn )存在时,limsinxn存在,但limxn不一定存在-|||-(D)当lim sin(cosxn )存在时,limcosxn存在,但limxn不一定存在
题目解答
答案
C. 当lim cos(sinxn )存在时,limsinxn存在,但limxn不一定存在
解析
步骤 1：分析选项A
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant sin{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 cos(sin xn)∈[0,1]。若 lim cos(sin xn)存在,则 lim sin xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 sin 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
步骤 2：分析选项B
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant cos{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 sin(cos xn)∈[-1,1]。若 lim sin(cos xn)存在,则 lim cos xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 cos 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
步骤 3：分析选项C
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant sin{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 cos(sinxn)∈[0,1]。若 lim cos(sinxn)存在,则 lim sin xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 sin 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
步骤 4：分析选项D
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant cos{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 sin(cosxn)∈[-1,1]。若 lim sin(cosxn)存在,则 lim cos xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 cos 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant sin{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 cos(sin xn)∈[0,1]。若 lim cos(sin xn)存在,则 lim sin xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 sin 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
步骤 2：分析选项B
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant cos{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 sin(cos xn)∈[-1,1]。若 lim sin(cos xn)存在,则 lim cos xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 cos 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
步骤 3：分析选项C
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant sin{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 cos(sinxn)∈[0,1]。若 lim cos(sinxn)存在,则 lim sin xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 sin 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。
步骤 4：分析选项D
当 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant {x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ 时,有 $-\dfrac {\pi }{2}\leqslant cos{x}_{n}\leqslant \dfrac {\pi }{2}$ ,因此 sin(cosxn)∈[-1,1]。若 lim sin(cosxn)存在,则 lim cos xn 存在,但 lim xn 不一定存在,因为 cos 函数在 $-\dfrac {\pi }{2}$ 到 $\dfrac {\pi }{2}$ 区间内不是单调的。