题目
求解微分方程''-y=x(e)^xcos x通解
求解微分方程
通解
题目解答
答案
由题意得
微分方程
特征方程是
特征根
其次方程通解是
设特解是
算出
将
带回微分方程
解得a=1，b=0，c=-1，d=0
微分方程通解是
解析
步骤 1：求解特征方程
微分方程$y''-y=x{e}^{x}\cos x$的特征方程是${r}^{2}-1=0$。解这个方程，得到特征根${r}_{1}=1$和${r}_{2}=-1$。
步骤 2：求其次方程的通解
根据特征根${r}_{1}=1$和${r}_{2}=-1$，其次方程的通解是$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-x}$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$是任意常数。
步骤 3：求特解
由于非齐次项是$x{e}^{x}\cos x$，我们假设特解的形式为$y=x{e}^{x}[ (ax+b)\sin x+(cx+d)\cos x] $。将特解代入原微分方程，通过比较系数，解得$a=1$，$b=0$，$c=-1$，$d=0$。
步骤 4：求通解
将特解代入，得到微分方程$y''-y=x{e}^{x}\cos x$的通解是$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-x}+x{e}^{x}[\sin x-\cos x]$。
微分方程$y''-y=x{e}^{x}\cos x$的特征方程是${r}^{2}-1=0$。解这个方程，得到特征根${r}_{1}=1$和${r}_{2}=-1$。
步骤 2：求其次方程的通解
根据特征根${r}_{1}=1$和${r}_{2}=-1$，其次方程的通解是$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-x}$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$是任意常数。
步骤 3：求特解
由于非齐次项是$x{e}^{x}\cos x$，我们假设特解的形式为$y=x{e}^{x}[ (ax+b)\sin x+(cx+d)\cos x] $。将特解代入原微分方程，通过比较系数，解得$a=1$，$b=0$，$c=-1$，$d=0$。
步骤 4：求通解
将特解代入，得到微分方程$y''-y=x{e}^{x}\cos x$的通解是$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-x}+x{e}^{x}[\sin x-\cos x]$。