题目
14、填空 在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线簇y=asinx(a>0)中，当a=（ ）时，沿着该曲线从O到A的积分int_(L)(1+y^3)dx+(2x+y)dy的值为最小.
14、填空 在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线簇$y=asinx(a>0)$中，当a=（ ）时，沿着该曲线从O到A的积分$\int_{L}(1+y^{3})dx+(2x+y)dy$的值为最小.
题目解答
答案
将曲线 $y = a \sin x$ 代入积分，得
\[
\int_0^\pi \left[1 + a^3 \sin^3 x + (2x + a \sin x) a \cos x\right] \, dx.
\]
分解并计算各部分：
\[
\int_0^\pi 1 \, dx = \pi, \quad \int_0^\pi \sin^3 x \, dx = \frac{4}{3}, \quad \int_0^\pi x \cos x \, dx = -2, \quad \int_0^\pi \sin x \cos x \, dx = 0.
\]
整理得
\[
I(a) = \pi + \frac{4}{3}a^3 - 4a.
\]
求导并令其为零：
\[
I'(a) = 4a^2 - 4 = 0 \implies a = 1 \quad (\text{取正根}).
\]
二阶导数 $I''(a) = 8a > 0$（$a > 0$），故 $a = 1$ 为极小值点。
答案：$\boxed{1}$
解析
步骤 1：代入曲线方程
将曲线 $y = a \sin x$ 代入积分 $\int_{L}(1+y^{3})dx+(2x+y)dy$，得到 \[ \int_0^\pi \left[1 + a^3 \sin^3 x + (2x + a \sin x) a \cos x\right] \, dx. \]
步骤 2：分解并计算各部分
分解积分并计算各部分： \[ \int_0^\pi 1 \, dx = \pi, \quad \int_0^\pi \sin^3 x \, dx = \frac{4}{3}, \quad \int_0^\pi x \cos x \, dx = -2, \quad \int_0^\pi \sin x \cos x \, dx = 0. \]
步骤 3：整理积分表达式
整理得到积分表达式 $I(a) = \pi + \frac{4}{3}a^3 - 4a$。
步骤 4：求导并令其为零
求导并令其为零： \[ I'(a) = 4a^2 - 4 = 0 \implies a = 1 \quad (\text{取正根}). \]
步骤 5：验证极值点
二阶导数 $I''(a) = 8a > 0$（$a > 0$），故 $a = 1$ 为极小值点。
将曲线 $y = a \sin x$ 代入积分 $\int_{L}(1+y^{3})dx+(2x+y)dy$，得到 \[ \int_0^\pi \left[1 + a^3 \sin^3 x + (2x + a \sin x) a \cos x\right] \, dx. \]
步骤 2：分解并计算各部分
分解积分并计算各部分： \[ \int_0^\pi 1 \, dx = \pi, \quad \int_0^\pi \sin^3 x \, dx = \frac{4}{3}, \quad \int_0^\pi x \cos x \, dx = -2, \quad \int_0^\pi \sin x \cos x \, dx = 0. \]
步骤 3：整理积分表达式
整理得到积分表达式 $I(a) = \pi + \frac{4}{3}a^3 - 4a$。
步骤 4：求导并令其为零
求导并令其为零： \[ I'(a) = 4a^2 - 4 = 0 \implies a = 1 \quad (\text{取正根}). \]
步骤 5：验证极值点
二阶导数 $I''(a) = 8a > 0$（$a > 0$），故 $a = 1$ 为极小值点。