题目
求微分方程 ((y)^4-3(x)^2)dy+xycdot dx=0 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
令 $x={u}^{2}$，则 $dx=2udu$。将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原方程，得到：
$$({y}^{4}-3{u}^{4})dy+2{u}^{3}ydu=0$$
步骤 2：齐次方程化简
将方程化为齐次方程的形式，即：
$$[ {(\dfrac {y}{u})}^{4}-3] dy+2\dfrac {y}{u}du=0$$
步骤 3：变量替换
令 $\dfrac {y}{u}=z$，即 $y=uz$，则 $dy=zdu+udz$。将 $y$ 和 $dy$ 的表达式代入方程，得到：
$$({z}^{4}-3)(zdu+udz)+2zdu=0$$
步骤 4：分离变量
分离变量，得到：
$$\dfrac {3-{z}^{4}}{{z}^{5}-z}dz=\dfrac {du}{u}$$
步骤 5：积分
积分得：
$$\dfrac {1}{2}\ln |{z}^{4}-1|-3\ln |z|=\ln |u|+\ln {C}_{1}$$
步骤 6：化简
化简得：
$$\ln |{z}^{4}-1|=2\ln |{C}_{1}{z}^{3}u|$$
步骤 7：代回原变量
代回原变量 $y$ 和 $x$，得到原方程的通解：
$${y}^{4}-{x}^{2}=C{y}^{6}$$
令 $x={u}^{2}$，则 $dx=2udu$。将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原方程，得到：
$$({y}^{4}-3{u}^{4})dy+2{u}^{3}ydu=0$$
步骤 2：齐次方程化简
将方程化为齐次方程的形式，即：
$$[ {(\dfrac {y}{u})}^{4}-3] dy+2\dfrac {y}{u}du=0$$
步骤 3：变量替换
令 $\dfrac {y}{u}=z$，即 $y=uz$，则 $dy=zdu+udz$。将 $y$ 和 $dy$ 的表达式代入方程，得到：
$$({z}^{4}-3)(zdu+udz)+2zdu=0$$
步骤 4：分离变量
分离变量，得到：
$$\dfrac {3-{z}^{4}}{{z}^{5}-z}dz=\dfrac {du}{u}$$
步骤 5：积分
积分得：
$$\dfrac {1}{2}\ln |{z}^{4}-1|-3\ln |z|=\ln |u|+\ln {C}_{1}$$
步骤 6：化简
化简得：
$$\ln |{z}^{4}-1|=2\ln |{C}_{1}{z}^{3}u|$$
步骤 7：代回原变量
代回原变量 $y$ 和 $x$，得到原方程的通解：
$${y}^{4}-{x}^{2}=C{y}^{6}$$