题目
1.求极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-(e)^sin x}({e)^(x^3)-1}.
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用等价无穷小替换
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$ 和 $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x$，因此可以将分子中的 $e^x - e^{\sin x}$ 替换为 $x - \sin x$。
步骤 2：使用等价无穷小替换
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^{x^3} - 1 \sim x^3$，因此可以将分母中的 $e^{x^3} - 1$ 替换为 $x^3$。
步骤 3：计算极限
将分子和分母替换为等价无穷小后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x - \sin x}{x^3}$。由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$x - \sin x \sim \dfrac{1}{6}x^3$，因此原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{1}{6}x^3}{x^3} = \dfrac{1}{6}$。
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$ 和 $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x$，因此可以将分子中的 $e^x - e^{\sin x}$ 替换为 $x - \sin x$。
步骤 2：使用等价无穷小替换
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^{x^3} - 1 \sim x^3$，因此可以将分母中的 $e^{x^3} - 1$ 替换为 $x^3$。
步骤 3：计算极限
将分子和分母替换为等价无穷小后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x - \sin x}{x^3}$。由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$x - \sin x \sim \dfrac{1}{6}x^3$，因此原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{1}{6}x^3}{x^3} = \dfrac{1}{6}$。