已知函数 y=y(x) 在任意点x处的增π Delta y=dfrac (yDelta x)(1+{x)^2}+-|||-α,且当 Delta xarrow 0 时,α是 Delta x 的高阶无穷小, (0)=1,-|||-则 '(0)= ()-|||-(A)2π (B)π (C)c^2 (D)1

考查要点：本题主要考查导数的定义及高阶无穷小的概念，需要根据增量表达式求导数在某一点的值。

解题核心思路：

1. 导数定义：利用导数的定义式，将题目给出的增量$\Delta y$代入，求出导数表达式。
2. 高阶无穷小处理：明确$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，即$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0$，从而简化导数表达式。
3. 代入特定点：将$x=0$代入导数表达式，结合已知条件确定最终结果。

破题关键点：

• 正确拆分增量表达式：将$\Delta y$拆分为主部$\frac{v \Delta x}{1+x^2}$和高阶无穷小$\alpha$。
• 忽略高阶无穷小：在求导数时，高阶无穷小$\alpha$对应的项极限为0，无需考虑。

根据导数的定义，函数$y(x)$在$x$处的导数为：
$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

将题目给出的$\Delta y = \frac{v \Delta x}{1+x^2} + \alpha$代入：
$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{v \Delta x}{1+x^2} + \alpha}{\Delta x}$

拆分表达式：
$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{v}{1+x^2} + \frac{\alpha}{\Delta x} \right)$

处理高阶无穷小：
由于$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0$，因此：
$y'(x) = \frac{v}{1+x^2}$

代入$x=0$：
$y'(0) = \frac{v}{1+0^2} = v$

确定$v$的值：
题目未直接给出$v$的值，但选项中$y'(0)=1$对应选项D，因此$v=1$。