题目
200.(上海机械学院)设A,B均为n阶方阵,试问下列结论中哪些正确?哪些-|||-不正确?-|||-(1)若 =0, 则 A=0 或 =0.-|||-(2) ((A+B))^2=(A)^2+2AB+(B)^2.-|||-(3) (AB)'=A'B'.-|||-(4) ((AB))^-1=(B)^-1(A)^-1 (当 |A|neq 0, |B|neq 0 时).-|||-(5) |kA|=k|A| (k为常数).
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析条件 $AB=0$ 是否意味着 $A=0$ 或 $B=0$
在矩阵乘法中，$AB=0$ 并不意味着 $A=0$ 或 $B=0$。例如，可以构造两个非零矩阵 $A$ 和 $B$，使得它们的乘积为零矩阵。因此，结论 (1) 不正确。
步骤 2：验证矩阵乘法的分配律
矩阵乘法不满足分配律，即 $(A+B)^2$ 不等于 $A^2 + 2AB + B^2$。这是因为矩阵乘法不满足交换律，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。因此，结论 (2) 不正确。
步骤 3：验证矩阵转置的性质
矩阵转置的性质是 $(AB)' = B'A'$，而不是 $(AB)' = A'B'$。因此，结论 (3) 不正确。
步骤 4：验证矩阵逆的性质
矩阵逆的性质是 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，当 $|A| \neq 0$ 和 $|B| \neq 0$ 时。因此，结论 (4) 正确。
步骤 5：验证矩阵行列式的性质
矩阵行列式的性质是 $|kA| = k^n|A|$，其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵。因此，结论 (5) 不正确。
在矩阵乘法中，$AB=0$ 并不意味着 $A=0$ 或 $B=0$。例如，可以构造两个非零矩阵 $A$ 和 $B$，使得它们的乘积为零矩阵。因此，结论 (1) 不正确。
步骤 2：验证矩阵乘法的分配律
矩阵乘法不满足分配律，即 $(A+B)^2$ 不等于 $A^2 + 2AB + B^2$。这是因为矩阵乘法不满足交换律，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。因此，结论 (2) 不正确。
步骤 3：验证矩阵转置的性质
矩阵转置的性质是 $(AB)' = B'A'$，而不是 $(AB)' = A'B'$。因此，结论 (3) 不正确。
步骤 4：验证矩阵逆的性质
矩阵逆的性质是 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，当 $|A| \neq 0$ 和 $|B| \neq 0$ 时。因此，结论 (4) 正确。
步骤 5：验证矩阵行列式的性质
矩阵行列式的性质是 $|kA| = k^n|A|$，其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵。因此，结论 (5) 不正确。