题目
8.函数f(x,y)=}(xy)/(x^2)+y^(2),x^2+y^2neq0,0,x^2+y^2=0,在(0,0)点（）A. 连续，偏导函数都存在B. 不连续，偏导函数都存在C. 不连续，偏导函数都不存在D. 连续，偏导函数都不存在
8.函数$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},x^{2}+y^{2}\neq0,\\0,x^{2}+y^{2}=0,\end{cases}$在(0,0)点（）
A. 连续，偏导函数都存在
B. 不连续，偏导函数都存在
C. 不连续，偏导函数都不存在
D. 连续，偏导函数都不存在
题目解答
答案
B. 不连续，偏导函数都存在
解析
步骤 1：连续性判断
沿直线 $y = x$，有 $f(x, x) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$，当 $x \to 0$ 时，极限为 $\frac{1}{2}$，与 $f(0,0) = 0$ 不等，故不连续。
步骤 2：偏导数计算
$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0$，
$f_y(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0$，
均存在且为 0。
沿直线 $y = x$，有 $f(x, x) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$，当 $x \to 0$ 时，极限为 $\frac{1}{2}$，与 $f(0,0) = 0$ 不等，故不连续。
步骤 2：偏导数计算
$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0$，
$f_y(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0$，
均存在且为 0。