题目

设曲线L:f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是( )A. ∫Tf(x，y)dxB. ∫Tf(x，y)dyC. ∫Tf(x，y)dsD. ∫Tf′x(x，y)dx+f′y(x，y)dy

设曲线L:f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是( )
A. ∫Tf(x，y)dx
B. ∫Tf(x，y)dy
C. ∫Tf(x，y)ds
D. ∫Tf′x(x，y)dx+f′y(x，y)dy

题目解答

答案


设M、N点的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＜x2，y1＞y2．
将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
对于选项A：
T
f(x，y)dx＝
T
dx＝x2−x1＞0；
对于选项B：
T
f(x，y)dy＝
T
dy＝y2−y1＜0；
对于选项C：
T
f(x，y)ds＝
T
ds＝s＞0；
对于选项D：
T
f′x(x，y)dx+f′y(x，y)dy＝
T
df(x，y)＝0．
故选：B．

解析

考查要点：本题主要考查对曲线积分的理解，特别是不同形式的线积分（对dx、dy、ds的积分）的几何意义，以及全微分积分的性质。

解题核心思路：

  1. 明确曲线方向：曲线从第二象限的M(x₁,y₁)到第四象限的N(x₂,y₂)，x坐标增大（x₁ < x₂），y坐标减小（y₁ > y₂）。
  2. 分析积分形式：
    • ∫f dx：等价于x坐标增量的投影，结果为正。
    • ∫f dy：等价于y坐标增量的投影，结果为负。
    • ∫f ds：等价于弧长，结果恒正。
    • ∫(f'_x dx + f'_y dy)：全微分形式，若f为常数，则积分为0。
  3. 关键结论：选项B的积分结果为负。

选项分析

选项A：$\int_T f(x,y)dx$

  • 当$f(x,y)=1$时，积分等价于$\int_T dx = x_2 - x_1$。
  • 因为$x_2 > x_1$（从第二象限到第四象限，x坐标增大），所以结果为正数。

选项B：$\int_T f(x,y)dy$

  • 当$f(x,y)=1$时，积分等价于$\int_T dy = y_2 - y_1$。
  • 因为$y_2 < y_1$（从第二象限到第四象限，y坐标减小），所以结果为负数。

选项C：$\int_T f(x,y)ds$

  • 当$f(x,y)=1$时，积分等价于$\int_T ds$，即曲线段$T$的弧长。
  • 弧长恒为正数。

选项D：$\int_T f'_x dx + f'_y dy$

  • 由全微分定理，$\int_T df = f(N) - f(M)$。
  • 因为$f(x,y)=1$是常数函数，$f(N) - f(M) = 0$，结果为零。