题目
下面的结论中，正确的是（ ）A. 如果|overrightarrow(a)+overrightarrow(b)|=|overrightarrow(a)-overrightarrow(b)|，则overrightarrow(b)一定是零向量B. 如果|overrightarrow(a)+overrightarrow(b)|=|overrightarrow(a)-overrightarrow(b)|，则向量overrightarrow(a)，overrightarrow(b)一定垂直C. 如果|overrightarrow(a)+overrightarrow(b)|=|overrightarrow(a)|+|overrightarrow(b)|，则向量overrightarrow(b)一定是零向量D. 如果|overrightarrow(a)+overrightarrow(b)|=|overrightarrow(a)|+|overrightarrow(b)|，则向量overrightarrow(a)，overrightarrow(b)一定垂直
下面的结论中，正确的是（ ）
- A. 如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{b}$一定是零向量
- B. 如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$一定垂直
- C. 如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{b}$一定是零向量
- D. 如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$一定垂直
题目解答
答案
解：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$时，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，得不出$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，∴A错误，B正确；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$时，得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$同向，∴CD都错误．
故选：B．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，得不出$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，∴A错误，B正确；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$时，得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$同向，∴CD都错误．
故选：B．
解析
步骤 1：分析条件|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|
根据向量的模的性质，如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则有$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2$。展开后得到$\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$，从而得出$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。
步骤 2：分析条件|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|
如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向，因为只有当两个向量同向时，它们的和的模才等于它们模的和。
步骤 3：判断选项
根据步骤1和步骤2的分析，可以判断选项A和C错误，因为$\overrightarrow{b}$不一定是零向量；选项D错误，因为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向，而不是垂直；选项B正确，因为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。
根据向量的模的性质，如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则有$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2$。展开后得到$\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$，从而得出$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。
步骤 2：分析条件|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|
如果|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向，因为只有当两个向量同向时，它们的和的模才等于它们模的和。
步骤 3：判断选项
根据步骤1和步骤2的分析，可以判断选项A和C错误，因为$\overrightarrow{b}$不一定是零向量；选项D错误，因为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向，而不是垂直；选项B正确，因为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。