题目
计算二重积分xydxdy，其中xydxdy是由曲线xydxdy以及xydxdy轴所围成的闭区域。
计算二重积分
，其中
是由曲线
以及
轴所围成的闭区域。
题目解答
答案
因为是由曲线以及轴所围成的闭区域，
所以
解析
步骤 1：确定积分区域
由曲线$y={x}^{2}$，$x=-1$，$x=2$以及轴所围成的闭区域，可以确定积分区域D为$-1\leq x\leq 2$，$0\leq y\leq {x}^{2}$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，设置二重积分${\iint }_{D}xydxdy$。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分转化为累次积分，即${\iint }_{D}xydxdy={\int }_{-1}^{2}dx{\int }_{0}^{{x}^{2}}xydy$。
步骤 4：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{0}^{{x}^{2}}xydy$，得到$\dfrac {1}{2}{x}^{3}$。
步骤 5：计算外层积分
计算外层积分${\int }_{-1}^{2}\dfrac {1}{2}{x}^{3}dx$，得到$\dfrac {1}{8}{x}^{4}{|}_{-1}^{2}$。
步骤 6：计算最终结果
计算最终结果$\dfrac {1}{8}{x}^{4}{|}_{-1}^{2}$，得到$\dfrac {15}{8}$。
由曲线$y={x}^{2}$，$x=-1$，$x=2$以及轴所围成的闭区域，可以确定积分区域D为$-1\leq x\leq 2$，$0\leq y\leq {x}^{2}$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，设置二重积分${\iint }_{D}xydxdy$。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分转化为累次积分，即${\iint }_{D}xydxdy={\int }_{-1}^{2}dx{\int }_{0}^{{x}^{2}}xydy$。
步骤 4：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{0}^{{x}^{2}}xydy$，得到$\dfrac {1}{2}{x}^{3}$。
步骤 5：计算外层积分
计算外层积分${\int }_{-1}^{2}\dfrac {1}{2}{x}^{3}dx$，得到$\dfrac {1}{8}{x}^{4}{|}_{-1}^{2}$。
步骤 6：计算最终结果
计算最终结果$\dfrac {1}{8}{x}^{4}{|}_{-1}^{2}$，得到$\dfrac {15}{8}$。