设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 α1 ， α2 ，则 α1 ，A（ α1 + α2 ）线性无关的充分必要条件是（ ） A. λ1≠0 B. λ2≠0 C. λ1=0 D. λ2=0

考查要点：本题主要考查矩阵特征值、特征向量的性质，以及向量组线性无关的判定条件。

解题核心思路：

1. 利用特征值的定义：由特征向量的定义，可将$A(\alpha_1 + \alpha_2)$展开为$\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$。
2. 构造矩阵判断线性相关性：将$\alpha_1$和$A(\alpha_1 + \alpha_2)$作为列向量构成矩阵，通过计算其行列式是否非零，判断向量组是否线性无关。
3. 关键条件：行列式的值为$\lambda_2$，因此当且仅当$\lambda_2 \neq 0$时，向量组线性无关。

破题关键点：

• 不同特征值对应的特征向量线性无关，这是展开的基础。
• 行列式的计算直接关联到$\lambda_2$是否为零，是判定条件的核心。

步骤1：展开$A(\alpha_1 + \alpha_2)$
根据特征向量的定义：
$A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1, \quad A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$
因此：
$A(\alpha_1 + \alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$

步骤2：构造矩阵并计算行列式
将$\alpha_1$和$A(\alpha_1 + \alpha_2)$作为列向量构成矩阵：
$[\alpha_1, \, A(\alpha_1 + \alpha_2)] = [\alpha_1, \, \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2]$
由于$\alpha_1$和$\alpha_2$线性无关，可将矩阵分解为：
$[\alpha_1, \, \alpha_2] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{pmatrix}$
原矩阵的行列式为：
$\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{pmatrix} = 1 \cdot \lambda_2 - 0 \cdot \lambda_1 = \lambda_2$

步骤3：判定线性无关条件
当且仅当行列式$\lambda_2 \neq 0$时，矩阵列向量组线性无关。因此，充分必要条件是$\lambda_2 \neq 0$。