题目

求极限lim _(narrow infty )dfrac ({5)^n+(2)^n}({5)^n-(3)^n}

求极限 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5^n+2^n}{5^n-3^n}$

题目解答

答案

原式 $=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5^n+2^n}{5^n-3^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5^n\left(1+\left(\frac{2}{5}\right)^n\right)}{5^n\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(1+\left(\frac{2}{5}\right)^n\right)}{\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}$

∵ $\frac{2}{5}<1$

∴ $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^n=0$

同理 $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n=0$

∴ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(1+\left(\frac{2}{5}\right)^n\right)}{\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+0}{1-0}=1$

解析

步骤 1：提取公因式
提取公因式${5}^{n}$，将分子和分母都除以${5}^{n}$，得到$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1+{(\dfrac {2}{5})}^{n}}{1-{(\dfrac {3}{5})}^{n}}$。
步骤 2：分析指数函数的极限
由于$\dfrac {2}{5}\lt 1$和$\dfrac {3}{5}\lt 1$，当$n\rightarrow \infty$时，${(\dfrac {2}{5})}^{n}\rightarrow 0$和${(\dfrac {3}{5})}^{n}\rightarrow 0$。
步骤 3：计算极限
将步骤2的结果代入步骤1的表达式中，得到$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1+0}{1-0}=1$。