题目
59.用格林公式计算: (int )_(1)(5x-3y+8)dx+(4x+6y-9)dy 其中L为三顶点分别-|||-为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定格林公式适用条件
格林公式适用于平面上的闭合曲线L，且L所围成的区域D内函数P(x,y)和Q(x,y)具有连续的一阶偏导数。这里，P(x,y) = 5x - 3y + 8，Q(x,y) = 4x + 6y - 9，显然它们在三角形区域D内具有连续的一阶偏导数，因此可以使用格林公式。
步骤 2：应用格林公式
格林公式表述为：$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$。首先计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$。
- $\frac{\partial Q}{\partial x} = 4$
- $\frac{\partial P}{\partial y} = -3$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4 - (-3) = 7$。
步骤 3：计算二重积分
将$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 7$代入格林公式，得到$\iint_{D} 7 dxdy$。由于D是底为3，高为2的三角形，其面积$A = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。因此，$\iint_{D} 7 dxdy = 7 \times A = 7 \times 3 = 21$。
格林公式适用于平面上的闭合曲线L，且L所围成的区域D内函数P(x,y)和Q(x,y)具有连续的一阶偏导数。这里，P(x,y) = 5x - 3y + 8，Q(x,y) = 4x + 6y - 9，显然它们在三角形区域D内具有连续的一阶偏导数，因此可以使用格林公式。
步骤 2：应用格林公式
格林公式表述为：$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$。首先计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$。
- $\frac{\partial Q}{\partial x} = 4$
- $\frac{\partial P}{\partial y} = -3$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4 - (-3) = 7$。
步骤 3：计算二重积分
将$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 7$代入格林公式，得到$\iint_{D} 7 dxdy$。由于D是底为3，高为2的三角形，其面积$A = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。因此，$\iint_{D} 7 dxdy = 7 \times A = 7 \times 3 = 21$。