题目
计算下列对坐标的曲线积分:-|||-xydx,其中L为圆周 ((x-a))^2+(y)^2=(a)^2(agt 0) 及x轴所围成的在第-|||-一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线L的组成部分
曲线L由两部分组成：L1为有向半圆弧，L2为有向线段。L1是圆周${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$在第一象限的部分，L2是x轴上从0到2a的线段。
步骤 2：参数化曲线L1
L1的参数方程为$\left \{ \begin{matrix} x=a+a\cos t,\\ y=a\sin t,\end{matrix} \right.$ 其中t从0变到π。这是因为当t从0变到π时，x从a变到0，y从0变到a再变到0，这正好是圆周在第一象限的部分。
步骤 3：计算L1上的积分
将L1的参数方程代入积分$\int_{L1} xydx$，得到$\int_{0}^{\pi} a(1+\cos t)\cdot a\sin t\cdot (-a\sin t)dt$。这里，$dx=-a\sin t dt$，因为$x=a+a\cos t$，所以$dx=-a\sin t dt$。
步骤 4：计算L2上的积分
L2上的积分$\int_{L2} xydx$为0，因为y=0，所以xy=0。
步骤 5：计算总积分
总积分$\int_{L} xydx = \int_{L1} xydx + \int_{L2} xydx$。将步骤3和步骤4的结果相加，得到$-{a}^{3}({\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{3}tdt+{\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}t\cos tdt)$。这里，${\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{3}tdt=\dfrac {\pi }{2}$，${\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}t\cos tdt=0$，所以总积分等于$-\dfrac {\pi }{2}{a}^{3}$。
曲线L由两部分组成：L1为有向半圆弧，L2为有向线段。L1是圆周${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$在第一象限的部分，L2是x轴上从0到2a的线段。
步骤 2：参数化曲线L1
L1的参数方程为$\left \{ \begin{matrix} x=a+a\cos t,\\ y=a\sin t,\end{matrix} \right.$ 其中t从0变到π。这是因为当t从0变到π时，x从a变到0，y从0变到a再变到0，这正好是圆周在第一象限的部分。
步骤 3：计算L1上的积分
将L1的参数方程代入积分$\int_{L1} xydx$，得到$\int_{0}^{\pi} a(1+\cos t)\cdot a\sin t\cdot (-a\sin t)dt$。这里，$dx=-a\sin t dt$，因为$x=a+a\cos t$，所以$dx=-a\sin t dt$。
步骤 4：计算L2上的积分
L2上的积分$\int_{L2} xydx$为0，因为y=0，所以xy=0。
步骤 5：计算总积分
总积分$\int_{L} xydx = \int_{L1} xydx + \int_{L2} xydx$。将步骤3和步骤4的结果相加，得到$-{a}^{3}({\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{3}tdt+{\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}t\cos tdt)$。这里，${\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{3}tdt=\dfrac {\pi }{2}$，${\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{2}t\cos tdt=0$，所以总积分等于$-\dfrac {\pi }{2}{a}^{3}$。