题目

设 A 与 B 互斥且 0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1。下列结论正确的是()。A. overline(A) 与 overline(B) 互斥B. P(AB) = P(A)P(B)C. overline(A) 与 B 互斥D. P(A-B) = P(A)

设 $A$ 与 $B$ 互斥且 $0 < P(A) < 1$，$0 < P(B) < 1$。下列结论正确的是()。 A. $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 互斥 B. $P(AB) = P(A)P(B)$ C. $\overline{A}$ 与 $B$ 互斥 D. $P(A-B) = P(A)$

题目解答

答案

我们来逐项分析这道题。 --- ### 已知条件： - 事件 $ A $ 与 $ B $ **互斥**，即 $ A \cap B = \emptyset $，所以 $ P(AB) = 0 $ - $ 0 < P(A) < 1 $，$ 0 < P(B) < 1 $ --- ### 选项分析： --- #### A. $ \overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 互斥 **分析：** - $ \overline{A} $ 表示事件 $ A $ 不发生，$ \overline{B} $ 表示事件 $ B $ 不发生。 - $ \overline{A} \cap \overline{B} $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 都不发生，这在现实中是可能的。 - 所以 $ \overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ **不一定互斥**，即它们的交集不一定为空。 **结论：错误** --- #### B. $ P(AB) = P(A)P(B) $ **分析：** - $ A $ 与 $ B $ 是互斥的，所以 $ P(AB) = 0 $ - 但是 $ P(A)P(B) > 0 $（因为 $ 0 < P(A), P(B) < 1 $） - 所以 $ P(AB) \neq P(A)P(B) $ **结论：错误** --- #### C. $ \overline{A} $ 与 $ B $ 互斥 **分析：** - $ \overline{A} $ 表示 $ A $ 不发生，$ B $ 表示 $ B $ 发生。 - 如果 $ B $ 发生，那么 $ A $ 可能不发生，即 $ \overline{A} \cap B \neq \emptyset $，不一定为空。 - 所以 $ \overline{A} $ 与 $ B $ **不一定互斥** **结论：错误** --- #### D. $ P(A - B) = P(A) $ **分析：** - $ A - B $ 表示 $ A $ 发生，但 $ B $ 不发生。 - 因为 $ A $ 与 $ B $ 互斥，所以 $ A \cap B = \emptyset $，即 $ A \subseteq \overline{B} $ - 所以 $ A - B = A \cap \overline{B} = A $ - 所以 $ P(A - B) = P(A) $ **结论：正确** --- ### ✅ 正确答案是：**D** --- ### 总结： - A 错误：$ \overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 不一定互斥 - B 错误：互斥事件不满足独立事件的乘法公式 - C 错误：$ \overline{A} $ 与 $ B $ 不一定互斥 - D 正确：互斥事件中，$ A - B = A $ --- **最终答案：** $\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查互斥事件的性质及其补集、差事件的概率计算，需结合事件间的关系进行逻辑推理。

解题核心思路：

  1. 互斥事件的定义：若事件$A$与$B$互斥，则$A \cap B = \emptyset$，即$P(AB) = 0$。
  2. 补集与差事件的关系：需明确$\overline{A}$（$A$的补集）、$A - B$（$A$发生但$B$不发生）的定义，并分析其与原事件的关系。
  3. 逻辑排除法：通过逐一分析选项，结合互斥事件的性质，排除错误选项，锁定正确答案。

破题关键点：

  • 选项D的关键：互斥事件中，$A$发生时$B$必然不发生，因此$A - B = A$，直接得出$P(A - B) = P(A)$。

选项分析

选项A：$\overline{A}$与$\overline{B}$互斥

  • 分析：$\overline{A}$表示$A$不发生，$\overline{B}$表示$B$不发生。若$A$与$B$互斥，$\overline{A} \cap \overline{B}$表示“$A$和$B$都不发生”，可能存在这种情况（例如样本空间中存在其他事件），因此$\overline{A}$与$\overline{B}$不一定互斥。
  • 结论：错误。

选项B：$P(AB) = P(A)P(B)$

  • 分析：互斥事件满足$P(AB) = 0$，但$P(A) > 0$且$P(B) > 0$，故$P(A)P(B) > 0$，两者不相等。
  • 结论：错误。

选项C：$\overline{A}$与$B$互斥

  • 分析：$\overline{A} \cap B$表示“$A$不发生且$B$发生”。由于$A$与$B$互斥，$B$发生时$A$必然不发生，因此$\overline{A} \cap B = B \neq \emptyset$，说明$\overline{A}$与$B$不一定互斥。
  • 结论：错误。

选项D：$P(A - B) = P(A)$

  • 分析：$A - B$表示“$A$发生但$B$不发生”。因$A$与$B$互斥，$A$发生时$B$必然不发生，故$A - B = A$，因此$P(A - B) = P(A)$。
  • 结论：正确。