设f(x)有连续的导数, (0)=0,设f(x)有连续的导数, (0)=0,

步骤 1：求导F(x)
首先，我们对F(x)求导。根据题意，$F(x)={\int }_{0}^{x}({x}^{2}-{t}^{2})f(t)dt$。利用Leibniz积分法则，我们有：
$F'(x)=\dfrac {d}{dx}{\int }_{0}^{x}({x}^{2}-{t}^{2})f(t)dt$
$=({x}^{2}-{x}^{2})f(x)+{\int }_{0}^{x}\dfrac {d}{dx}({x}^{2}-{t}^{2})f(t)dt$
$=2x{\int }_{0}^{x}f(t)dt$
步骤 2：确定F'(x)与x^k的同阶无穷小
根据题意，当x→0时，F'(x)与x^k是同阶无穷小。我们来分析F'(x)的阶数。由于$f(0)=0$，我们可以利用洛必达法则来确定F'(x)的阶数。首先，我们有：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {F'(x)}{{x}^{k}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x{\int }_{0}^{x}f(t)dt}{{x}^{k}}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{\int }_{0}^{x}f(t)dt}{{x}^{k-1}}$
步骤 3：应用洛必达法则
由于$f'(0)\neq 0$，我们可以继续应用洛必达法则：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{\int }_{0}^{x}f(t)dt}{{x}^{k-1}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2f(x)}{(k-1){x}^{k-2}}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2f'(x)}{(k-1)(k-2){x}^{k-3}}$
由于$\lim _{x\rightarrow 0}f'(x)=f'(0)\neq 0$，上式右端极限存在且为非零函数，因此k=3。