设f(x)有连续的导数, (0)=0,设f(x)有连续的导数, (0)=0,

考查要点：本题主要考查积分上限函数的求导法则、泰勒展开的应用以及无穷小阶数的判断。

解题核心思路：

1. 积分求导：利用莱布尼茨规则对积分上限函数求导，将原积分拆分为两个积分后分别求导。
2. 泰勒展开：由于$f(0)=0$，将$f(t)$展开为$f(t)=f'(0)t + o(t)$，简化积分表达式。
3. 阶数分析：通过分析积分结果的阶数，确定$F'(x)$的阶数，从而找到与$x^k$同阶的$k$值。

破题关键点：

• 拆分积分：将原积分拆分为$x^2\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2 f(t)dt$，简化求导过程。
• 泰勒展开：利用$f(0)=0$的条件展开$f(t)$，忽略高阶无穷小后，积分结果的阶数由$f'(0)t$主导。
• 阶数匹配：通过积分结果的阶数推导$F'(x)$的阶数，最终确定$k$的值。

步骤1：求导$F(x)$

根据莱布尼茨积分法则：
$F(x) = \int_0^x (x^2 - t^2)f(t)dt = x^2 \int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2 f(t)dt$
对$F(x)$求导：
$F'(x) = 2x \int_0^x f(t)dt + x^2 f(x) - x^2 f(x) = 2x \int_0^x f(t)dt$

步骤2：分析积分$\int_0^x f(t)dt$的阶数

由于$f(0)=0$且$f'(0) \neq 0$，对$f(t)$进行泰勒展开：
$f(t) = f(0) + f'(0)t + o(t) = f'(0)t + o(t)$
忽略高阶无穷小后，积分近似为：
$\int_0^x f(t)dt \approx \int_0^x f'(0)t \, dt = \frac{f'(0)}{2}x^2$
因此，$\int_0^x f(t)dt$是$x^2$的阶。

步骤3：确定$F'(x)$的阶数

将积分结果代入$F'(x)$：
$F'(x) = 2x \cdot \frac{f'(0)}{2}x^2 = f'(0)x^3$
因此，$F'(x)$是$x^3$的阶，即当$x \to 0$时，$F'(x) \sim f'(0)x^3$，故$k=3$。