题目
已知y=x^2sin2x, 求y^50(pi)。
已知$$y=x^2\sin2x$$, 求$$y^{50}(\pi)$$。
题目解答
答案
$$∵y=x^2sin2x$$
$$∴y^(^n^)=C_n^{0}(sin2x)^nx^2+ C_n^{1}(sin2x)^n^-^12x$$
$$+C_n^{2}(sin2x)^n\cdot 2$$
$$=2^nsin(2x+\frac{n}{2}\pi)+2nx2^n^-^1sin(2x+\frac{n-1}{2}\pi)$$
$$+n(n-1)\frac{2^n^-^1}{2}sin(2x+\frac{n-2}{2}\pi)$$
$$∴y^(^5^0^)=-2^5^0\times sin2x+100x\cdot 2^4^9cos2x$$
$$+50\times 49\cdot 2^4^8sin2x$$
$$∴y^5^0(\pi)=100\times 2^4^9\pi$$
解析
步骤 1：求导公式
根据已知函数$$y=x^2\sin2x$$，我们首先需要求出其高阶导数的一般形式。利用莱布尼茨公式，可以得到$$y^{(n)}$$的一般形式。
步骤 2：代入n=50
将n=50代入到步骤1中得到的高阶导数的一般形式中，得到$$y^{50}$$的表达式。
步骤 3：代入x=π
将x=π代入到步骤2中得到的$$y^{50}$$的表达式中，计算出$$y^{50}(\pi)$$的值。
根据已知函数$$y=x^2\sin2x$$，我们首先需要求出其高阶导数的一般形式。利用莱布尼茨公式，可以得到$$y^{(n)}$$的一般形式。
步骤 2：代入n=50
将n=50代入到步骤1中得到的高阶导数的一般形式中，得到$$y^{50}$$的表达式。
步骤 3：代入x=π
将x=π代入到步骤2中得到的$$y^{50}$$的表达式中，计算出$$y^{50}(\pi)$$的值。