2.求曲面 =(x)^2+(y)^2-1 在点(2,1,4)处的切平面方程与法线方程.

步骤 1：求曲面的法向量
设 $f(x,y,z) = z - x^2 - y^2 + 1$，则曲面 $z = x^2 + y^2 - 1$ 可以表示为 $f(x,y,z) = 0$。曲面在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为 $\nabla f(x_0, y_0, z_0)$，其中 $\nabla f$ 是 $f$ 的梯度。计算梯度：
$$
\nabla f(x,y,z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (-2x, -2y, 1)
$$
在点 $(2,1,4)$ 处，法向量为：
$$
\nabla f(2,1,4) = (-2 \cdot 2, -2 \cdot 1, 1) = (-4, -2, 1)
$$
步骤 2：求切平面方程
切平面方程为：
$$
-4(x - 2) - 2(y - 1) + 1(z - 4) = 0
$$
化简得：
$$
-4x + 8 - 2y + 2 + z - 4 = 0
$$
$$
-4x - 2y + z + 6 = 0
$$
步骤 3：求法线方程
法线方程为：
$$
\frac{x - 2}{-4} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 4}{1}
$$