题目
lim _(xarrow 0)((cos x))^dfrac (1{ln (1+{x)^2)}}..
.
题目解答
答案
原式
解析
步骤 1：将原式转换为指数形式
原式可以写成 $e^{\ln((\cos x)^{\ln(1+x^2)})}$，即 $e^{\ln(1+x^2)\ln(\cos x)}$。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\ln(1+x^2)\sim x^2$，$\cos x-1\sim -\frac{1}{2}x^2$，因此 $\ln(\cos x)\sim \ln(1+(\cos x-1))\sim \cos x-1\sim -\frac{1}{2}x^2$。
步骤 3：计算极限
将步骤2中的等价无穷小代入原式，得到 $e^{x^2\cdot(-\frac{1}{2}x^2)}=e^{-\frac{1}{2}x^4}$。当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^{-\frac{1}{2}x^4}\rightarrow e^0=1$。
原式可以写成 $e^{\ln((\cos x)^{\ln(1+x^2)})}$，即 $e^{\ln(1+x^2)\ln(\cos x)}$。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\ln(1+x^2)\sim x^2$，$\cos x-1\sim -\frac{1}{2}x^2$，因此 $\ln(\cos x)\sim \ln(1+(\cos x-1))\sim \cos x-1\sim -\frac{1}{2}x^2$。
步骤 3：计算极限
将步骤2中的等价无穷小代入原式，得到 $e^{x^2\cdot(-\frac{1}{2}x^2)}=e^{-\frac{1}{2}x^4}$。当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^{-\frac{1}{2}x^4}\rightarrow e^0=1$。