题目
4.过(0,1,0)且与平面x-y+z=1平行的平面方程为____
4.过(0,1,0)且与平面x-y+z=1平行的平面方程为____
题目解答
答案
已知平面 $x - y + z = 1$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, -1, 1)$。过点 $(0,1,0)$ 且与该平面平行的平面，其法向量相同。利用点法式方程：
\[
1(x - 0) - 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y + 1 + z = 0 \implies x - y + z = -1
\]
或直接由一般形式 $x - y + z = D$，代入点 $(0,1,0)$ 求得 $D = -1$。
**答案：** $\boxed{x - y + z = -1}$
解析
步骤 1：确定已知平面的法向量
已知平面 $x - y + z = 1$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, -1, 1)$。
步骤 2：确定过点 (0,1,0) 且与已知平面平行的平面的法向量
由于所求平面与已知平面平行，因此所求平面的法向量与已知平面的法向量相同，即 $\vec{n} = (1, -1, 1)$。
步骤 3：利用点法式方程求解所求平面方程
利用点法式方程：\[ 1(x - 0) - 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y + 1 + z = 0 \implies x - y + z = -1 \] 或直接由一般形式 $x - y + z = D$，代入点 $(0,1,0)$ 求得 $D = -1$。
已知平面 $x - y + z = 1$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, -1, 1)$。
步骤 2：确定过点 (0,1,0) 且与已知平面平行的平面的法向量
由于所求平面与已知平面平行，因此所求平面的法向量与已知平面的法向量相同，即 $\vec{n} = (1, -1, 1)$。
步骤 3：利用点法式方程求解所求平面方程
利用点法式方程：\[ 1(x - 0) - 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y + 1 + z = 0 \implies x - y + z = -1 \] 或直接由一般形式 $x - y + z = D$，代入点 $(0,1,0)$ 求得 $D = -1$。