2.(2024 浙江A 63)有一组算式：1+1、2+3、3+5、4+7、1+9、2+11、3+13、4+15、 1+17、2+19、3+21、4+23、1+25、2+27、……和为2021的是第几个算式?A. 507B. 1010C. 1012D. 1014

考查要点：本题主要考查数列规律的识别与分情况讨论的能力。需要学生观察算式排列规律，建立数学模型，通过代数方程求解目标位置。

解题核心思路：

1. 识别第一个加数的周期性规律：每4个算式循环一次，依次为1、2、3、4。
2. 分析第二个加数的等差数列性质：公差为2，通项公式为$2n-1$（$n$为算式序号）。
3. 分情况讨论：根据第一个加数的周期性，将问题拆解为4种情况，分别建立方程求解，验证解的合理性。

破题关键点：

• 周期性拆分：将第一个加数的周期性与第二个加数的线性增长结合，建立方程。
• 整数解验证：通过解方程判断是否存在整数解，排除非整数解的情况。

观察算式规律

1. 第一个加数：每4个算式循环一次，依次为1、2、3、4。即：

   • 当$n=4k+1$时，第一个加数为1；
   • 当$n=4k+2$时，第一个加数为2；
   • 当$n=4k+3$时，第一个加数为3；
   • 当$n=4k+4$时，第一个加数为4；
     （$k$为非负整数）

2. 第二个加数：构成首项为1、公差为2的等差数列，通项公式为$2n-1$。

建立方程求解

设第$n$个算式的和为2021，即：
$\text{第一个加数} + (2n-1) = 2021$

分情况讨论：

1. 当$n=4k+1$时：
   $1 + (2(4k+1)-1) = 2021 \implies 8k + 2 = 2021 \implies k = 252.375 \quad (\text{非整数，舍去})$

2. 当$n=4k+2$时：
   $2 + (2(4k+2)-1) = 2021 \implies 8k + 5 = 2021 \implies k = 252 \quad (\text{整数，成立})$
   此时$n = 4 \times 252 + 2 = 1010$。

3. 当$n=4k+3$时：
   $3 + (2(4k+3)-1) = 2021 \implies 8k + 8 = 2021 \implies k = 251.625 \quad (\text{非整数，舍去})$

4. 当$n=4k+4$时：
   $4 + (2(4k+4)-1) = 2021 \implies 8k + 11 = 2021 \implies k = 251.25 \quad (\text{非整数，舍去})$

结论：唯一合理的解为$n=1010$，对应选项B。