利用导数证明:当 gt 1 时, dfrac (ln (1+x))(ln x)gt dfrac (x)(1+x)

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = (1+x)\ln(1+x) - x\ln x$，其中 $x \geqslant 1$。
步骤 2：求导
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，得到 $f'(x) = \ln(1+\frac{1}{x})$。
步骤 3：分析导数
由于 $x \geqslant 1$，则 $\frac{1}{x} \leqslant 1$，因此 $1+\frac{1}{x} \geqslant 1$，从而 $\ln(1+\frac{1}{x}) \geqslant \ln 1 = 0$。所以 $f'(x) \geqslant 0$，即 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增。
步骤 4：验证初始条件
验证 $f(1) = 2\ln 2 > 0$。
步骤 5：得出结论
由于 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，且 $f(1) > 0$，因此对于 $x > 1$，有 $f(x) > 0$。从而得到 $\dfrac{\ln(1+x)}{\ln x} > \dfrac{x}{1+x}$。