(10分)某厂要用铁板做成一个体积为 4m^3的无盖长方形水箱,问长、宽、高各取多少时,-|||-才能使用料最省

步骤 1：定义变量
设长方体水箱的长、宽、高分别为 \(x\)、\(y\)、\(z\)，则水箱的体积为 \(V = xyz = 4\)。

步骤 2：建立目标函数
水箱的表面积（即用料）为 \(S(x,y,z) = xy + 2xz + 2yz\)，因为水箱无盖，所以只计算底面和四个侧面的面积。

步骤 3：使用拉格朗日乘数法
为了求解 \(S(x,y,z)\) 的最小值，我们引入拉格朗日乘数法。构造辅助函数 \(F(x,y,z,\lambda) = xy + 2xz + 2yz + \lambda (xyz - 4)\)。

步骤 4：求偏导数
对 \(F(x,y,z,\lambda)\) 求偏导数并令其等于零，得到方程组：
\[
\begin{cases}
F_x = y + 2z + \lambda yz = 0 \\
F_y = x + 2z + \lambda xz = 0 \\
F_z = 2x + 2y + \lambda xy = 0 \\
xyz = 4
\end{cases}
\]

步骤 5：解方程组
从方程组中解出 \(x\)、\(y\)、\(z\)。由对称性，假设 \(x = y\)，则有：
\[
\begin{cases}
x + 2z + \lambda xz = 0 \\
2x + 2z + \lambda xz = 0 \\
2x + 2x + \lambda x^2 = 0 \\
x^2z = 4
\end{cases}
\]
解得 \(z = \frac{x}{2}\)，代入 \(x^2z = 4\)，得到 \(x^3 = 8\)，从而 \(x = 2\)，\(y = 2\)，\(z = 1\)。