(10分)某厂要用铁板做成一个体积为 4m^3的无盖长方形水箱,问长、宽、高各取多少时,-|||-才能使用料最省

考查要点：本题属于条件极值问题，需要在体积固定的情况下，求无盖长方体的表面积最小值。核心思路是利用拉格朗日乘数法处理约束条件，结合对称性简化方程求解。

解题关键：

1. 建立目标函数：表面积公式（无盖长方体）。
2. 构造拉格朗日函数，对变量求偏导并解方程组。
3. 利用对称性（假设长=宽）简化计算。
4. 验证解的合理性，确保满足体积约束。

建立模型

设长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，则：

• 表面积（用料）：$S = xy + 2xz + 2yz$（无盖，故底面积$xy$，四个侧面$2xz + 2yz$）。
• 体积约束：$xyz = 4$。

应用拉格朗日乘数法

构造辅助函数：
$F(x, y, z, \lambda) = xy + 2xz + 2yz + \lambda(xyz - 4)$

对$x$、$y$、$z$分别求偏导并令其为0：
$\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x} = y + 2z + \lambda yz = 0 \\\frac{\partial F}{\partial y} = x + 2z + \lambda xz = 0 \\\frac{\partial F}{\partial z} = 2x + 2y + \lambda xy = 0 \\xyz = 4\end{cases}$

利用对称性简化

假设$x = y$，则方程组化简为：
$\begin{cases}x + 2z + \lambda xz = 0 \\2x + 2x + \lambda x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + \lambda x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{4}{x}\end{cases}$

将$\lambda = -\frac{4}{x}$代入第一个方程：
$x + 2z - \frac{4}{x} \cdot xz = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{x}{2}$

求解变量

代入体积约束$x \cdot x \cdot \frac{x}{2} = 4$：
$\frac{x^3}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
因此，$y = x = 2$，$z = \frac{2}{2} = 1$。