已知函数 y=y(x) 在任意点x处的增星 Delta y=dfrac (yDelta x)(1+{x)^2}+-|||-α,且当 Delta xarrow 0 时,α是 Delta x 的高阶无穷小, (0)=1,-|||-则 '(0)= ()-|||-(A)2π (B)π (C)e^π/4 (D)1

考查要点：本题主要考查导数的定义及微分增量的理解，涉及极限运算和微分方程的基本概念。

解题核心思路：

1. 导数定义：利用导数的定义式，将题目给出的增量表达式代入，分离出导数的线性主部。
2. 高阶无穷小处理：明确题目中α是Δx的高阶无穷小，其对导数的极限无贡献。
3. 代入初始条件：结合y(0)=1，直接计算y’(0)的值。

破题关键点：

• 正确拆分Δy的表达式，识别出导数的线性项和高阶无穷小项。
• 忽略高阶无穷小项，仅保留主部计算导数。

根据导数的定义，函数y=y(x)在x处的导数为：
$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

将题目给出的增量表达式代入：
$\Delta y = \frac{y \Delta x}{1 + x^2} + \alpha$

代入导数定义式：
$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{y \Delta x}{1 + x^2} + \alpha}{\Delta x}$

拆分极限：
$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{y}{1 + x^2} + \frac{\alpha}{\Delta x} \right)$

分析各部分极限：

1. 第一项：$\frac{y}{1 + x^2}$ 与Δx无关，直接保留。
2. 第二项：$\frac{\alpha}{\Delta x}$，因α是Δx的高阶无穷小，故极限为0。

因此，导数表达式简化为：
$y'(x) = \frac{y(x)}{1 + x^2}$

代入初始条件：
当x=0时，y(0)=1，代入得：
$y'(0) = \frac{y(0)}{1 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$