题目
设函数f(x)二阶可导,且在x=x_0处取得极大值,则有()。 ( A. f''(x_0)< 0 (B. f''(x_0)le0 (C. f''(x_0) >0 (D. f''(x_0)ge0
设函数$f(x)$二阶可导,且在$x=x_0$处取得极大值,则有()。
(
- A. $f''(x_0)< 0$
( - B. $f''(x_0)\le0$
( - C. $f''(x_0) >0$
( - D. $f''(x_0)\ge0$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解极大值的定义
极大值是指函数在某一点的值大于其在该点附近所有点的值。在$x=x_0$处取得极大值意味着$f(x_0)$大于其在$x_0$附近所有点的值。
步骤 2：应用一阶导数的性质
在$x=x_0$处取得极大值，根据费马定理，$f'(x_0)=0$。这意味着在$x=x_0$处，函数的斜率为零，即曲线在该点的切线是水平的。
步骤 3：应用二阶导数的性质
为了确定极大值，我们需要考虑二阶导数$f''(x_0)$。如果$f''(x_0)<0$，则在$x=x_0$处，函数的曲线是凹的，这表明$x=x_0$是极大值点。如果$f''(x_0)>0$，则在$x=x_0$处，函数的曲线是凸的，这表明$x=x_0$是极小值点。如果$f''(x_0)=0$，则需要进一步分析，因为这可能意味着$x=x_0$是拐点。
步骤 4：确定正确选项
根据上述分析，如果$f(x)$在$x=x_0$处取得极大值，则$f''(x_0)<0$。因此，正确选项是A。
极大值是指函数在某一点的值大于其在该点附近所有点的值。在$x=x_0$处取得极大值意味着$f(x_0)$大于其在$x_0$附近所有点的值。
步骤 2：应用一阶导数的性质
在$x=x_0$处取得极大值，根据费马定理，$f'(x_0)=0$。这意味着在$x=x_0$处，函数的斜率为零，即曲线在该点的切线是水平的。
步骤 3：应用二阶导数的性质
为了确定极大值，我们需要考虑二阶导数$f''(x_0)$。如果$f''(x_0)<0$，则在$x=x_0$处，函数的曲线是凹的，这表明$x=x_0$是极大值点。如果$f''(x_0)>0$，则在$x=x_0$处，函数的曲线是凸的，这表明$x=x_0$是极小值点。如果$f''(x_0)=0$，则需要进一步分析，因为这可能意味着$x=x_0$是拐点。
步骤 4：确定正确选项
根据上述分析，如果$f(x)$在$x=x_0$处取得极大值，则$f''(x_0)<0$。因此，正确选项是A。