题目
求limn[ln(n+2)-ln n]=______。
求
______。
题目解答
答案
因为
，
所以正确答案为2。
解析
步骤 1：利用对数性质简化表达式
首先，我们利用对数的性质，将表达式中的对数项进行简化。根据对数的性质，$\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$，因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }n[ \ln (n+2)-\ln n] = \lim _{n\rightarrow \infty }n\ln \left(\frac{n+2}{n}\right)$$
步骤 2：进一步简化表达式
接下来，我们进一步简化表达式中的对数项。由于$\frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$，因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }n\ln \left(1 + \frac{2}{n}\right)$$
步骤 3：利用对数的极限性质求解
最后，我们利用对数的极限性质求解。当$n$趋向于无穷大时，$\ln(1 + \frac{2}{n})$可以近似为$\frac{2}{n}$，因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }n\ln \left(1 + \frac{2}{n}\right) = \lim _{n\rightarrow \infty }n\cdot \frac{2}{n} = 2$$
首先，我们利用对数的性质，将表达式中的对数项进行简化。根据对数的性质，$\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$，因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }n[ \ln (n+2)-\ln n] = \lim _{n\rightarrow \infty }n\ln \left(\frac{n+2}{n}\right)$$
步骤 2：进一步简化表达式
接下来，我们进一步简化表达式中的对数项。由于$\frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$，因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }n\ln \left(1 + \frac{2}{n}\right)$$
步骤 3：利用对数的极限性质求解
最后，我们利用对数的极限性质求解。当$n$趋向于无穷大时，$\ln(1 + \frac{2}{n})$可以近似为$\frac{2}{n}$，因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }n\ln \left(1 + \frac{2}{n}\right) = \lim _{n\rightarrow \infty }n\cdot \frac{2}{n} = 2$$