题目

设 f(x) 在 [0,1] 上连续 , 且 0⩽f(x)⩽1, 证明：至少存在一点 ξ∈[0,1], 使得 f(ξ)=ξ.

题目解答

答案

①如果 f(0)=0 ，则取 ξ=0 即可。

②如果 f(1)=1 ，则取 ξ=1 即可。

③如果 f(0)≠0, 且 f(1)≠1 ，

故由 0⩽f(x)⩽1 可得，

f(0)>0,f(1)<1.

令 g(x)=f(x)−x ，

则 g(x) 在 [0,1] 上连续 , 且 g(0)>0,g(1)<0.

故由连续函数的零点存在定理可得，

至少存在一点 ξ∈[0,1], 使得 g(ξ)=0 ，

即： f(ξ)=ξ.

解析

步骤 1：定义函数 g(x)
定义函数 g(x) = f(x) - x，其中 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 0⩽f(x)⩽1。
步骤 2：分析 g(x) 在端点的值
- 当 x=0 时，g(0) = f(0) - 0 = f(0)。由于 0⩽f(x)⩽1，所以 g(0) ⩾ 0。
- 当 x=1 时，g(1) = f(1) - 1。由于 0⩽f(x)⩽1，所以 g(1) ⩽ 0。
步骤 3：应用介值定理
根据介值定理，如果 g(x) 在 [0,1] 上连续，且 g(0) ⩾ 0，g(1) ⩽ 0，那么至少存在一点 ξ∈[0,1]，使得 g(ξ) = 0。
步骤 4：得出结论
由于 g(ξ) = f(ξ) - ξ = 0，所以 f(ξ) = ξ。