题目
例4 (2017,数二)积分int_(0)^1dyint_(y)^1(tan x)/(x)dx=____.
例4 $(2017,数二)积分\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}\frac{\tan x}{x}dx=$____.
题目解答
答案
交换积分次序，原积分变为
\[
\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy.
\]
先对 $y$ 积分得
\[
\int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy = \tan x.
\]
再对 $x$ 积分
\[
\int_{0}^{1}\tan x\,dx = \int_{0}^{1}\frac{\sin x}{\cos x}dx.
\]
令 $u = \cos x$，则
\[
-\int_{1}^{\cos 1}\frac{du}{u} = -\ln|\cos x|\bigg|_0^1 = -\ln\cos 1.
\]
**答案：** $\boxed{-\ln \cos 1}$
解析
步骤 1：交换积分次序
原积分 \[ \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}\frac{\tan x}{x}dx \] 可以通过交换积分次序变为 \[ \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy. \] 这是因为原积分的积分区域是 $0 \leq y \leq 1$ 和 $y \leq x \leq 1$，交换次序后，积分区域变为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq x$。
步骤 2：对 $y$ 积分
对 $y$ 积分 \[ \int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy \] 得到 \[ \frac{\tan x}{x} \cdot y \bigg|_{0}^{x} = \tan x. \] 因为 $\frac{\tan x}{x}$ 是关于 $y$ 的常数，所以积分结果是 $\frac{\tan x}{x} \cdot x = \tan x$。
步骤 3：对 $x$ 积分
对 $x$ 积分 \[ \int_{0}^{1}\tan x\,dx \] 得到 \[ \int_{0}^{1}\frac{\sin x}{\cos x}dx. \] 令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x\,dx$，所以积分变为 \[ -\int_{1}^{\cos 1}\frac{du}{u} = -\ln|\cos x|\bigg|_0^1 = -\ln\cos 1. \]
原积分 \[ \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}\frac{\tan x}{x}dx \] 可以通过交换积分次序变为 \[ \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy. \] 这是因为原积分的积分区域是 $0 \leq y \leq 1$ 和 $y \leq x \leq 1$，交换次序后，积分区域变为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq x$。
步骤 2：对 $y$ 积分
对 $y$ 积分 \[ \int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy \] 得到 \[ \frac{\tan x}{x} \cdot y \bigg|_{0}^{x} = \tan x. \] 因为 $\frac{\tan x}{x}$ 是关于 $y$ 的常数，所以积分结果是 $\frac{\tan x}{x} \cdot x = \tan x$。
步骤 3：对 $x$ 积分
对 $x$ 积分 \[ \int_{0}^{1}\tan x\,dx \] 得到 \[ \int_{0}^{1}\frac{\sin x}{\cos x}dx. \] 令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x\,dx$，所以积分变为 \[ -\int_{1}^{\cos 1}\frac{du}{u} = -\ln|\cos x|\bigg|_0^1 = -\ln\cos 1. \]