若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,则u(x,y)v(x,y)都是调和函数.A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查复变函数中解析函数与调和函数的关系，需要理解柯西-黎曼方程和调和函数的定义。

解题核心思路：

1. 解析函数的实部u(x,y)和虚部v(x,y)必须满足柯西-黎曼方程。
2. 通过柯西-黎曼方程推导u和v的二阶偏导数关系，验证它们是否满足拉普拉斯方程（即调和函数的定义）。

破题关键点：

• 明确调和函数的定义：函数的二阶混合偏导数之和为零，即$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。
• 利用柯西-黎曼方程的偏导数关系，通过代数运算证明u和v均满足拉普拉斯方程。

步骤1：写出柯西-黎曼方程
若$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$解析，则u和v满足：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$

步骤2：对u求二阶偏导数

1. 对$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$两边关于$x$求偏导：
   $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}.$
2. 对$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$两边关于$y$求偏导：
   $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}.$

步骤3：验证u的调和性
将上述结果相加：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = 0.$
因此，u是调和函数。

步骤4：同理证明v的调和性
对柯西-黎曼方程进行类似推导，可得：
$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0.$
因此，v也是调和函数。