(2017年)函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为A. 12.B. 6.C. 4.D. 2.

考查要点：本题主要考查方向导数的计算，涉及梯度向量的求解、单位向量的构造以及点积运算。

解题核心思路：

1. 梯度向量：计算函数在指定点的梯度，即各偏导数构成的向量。
2. 单位方向向量：将给定方向向量单位化。
3. 点积运算：梯度与单位方向向量的点积即为方向导数。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，尤其注意变量替换时的准确性。
• 方向向量的单位化，避免忽略模长计算。
• 点积运算的符号与系数，确保计算无误。

步骤1：计算梯度向量

函数 $f(x,y,z) = x^2 y + z^2$ 的偏导数为：

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$
• $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z$

在点 $(1,2,0)$ 处代入得：
$\nabla f(1,2,0) = \left( 2 \cdot 1 \cdot 2, \ 1^2, \ 2 \cdot 0 \right) = (4, 1, 0)$

步骤2：构造单位方向向量

给定方向向量 $\mathbf{n} = (1,2,2)$，其模长为：
$\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
单位方向向量为：
$\mathbf{u} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$

步骤3：计算方向导数

方向导数为梯度与单位向量的点积：
$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = 4 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$