题目
(2017年)函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为A. 12.B. 6.C. 4.D. 2.
(2017年)函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为
A. 12.
B. 6.
C. 4.
D. 2.
题目解答
答案
D. 2.
解析
步骤 1：计算梯度
首先，我们需要计算函数f(x,y,z)=x^2y+z^2在点(1,2,0)处的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。因此，我们首先计算偏导数。
∂f/∂x = 2xy
∂f/∂y = x^2
∂f/∂z = 2z
步骤 2：计算梯度在点(1,2,0)处的值
将点(1,2,0)代入偏导数中，得到梯度在该点处的值。
∂f/∂x(1,2,0) = 2*1*2 = 4
∂f/∂y(1,2,0) = 1^2 = 1
∂f/∂z(1,2,0) = 2*0 = 0
因此，梯度在点(1,2,0)处的值为(4,1,0)。
步骤 3：计算方向导数
方向导数是梯度在指定方向上的投影。给定的向量n=(1,2,2)需要先单位化，然后与梯度点乘。
单位化向量n：n' = n / ||n|| = (1,2,2) / sqrt(1^2+2^2+2^2) = (1/3,2/3,2/3)
方向导数 = 梯度点乘单位化向量n' = (4,1,0)·(1/3,2/3,2/3) = 4*(1/3) + 1*(2/3) + 0*(2/3) = 4/3 + 2/3 = 2
首先，我们需要计算函数f(x,y,z)=x^2y+z^2在点(1,2,0)处的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。因此，我们首先计算偏导数。
∂f/∂x = 2xy
∂f/∂y = x^2
∂f/∂z = 2z
步骤 2：计算梯度在点(1,2,0)处的值
将点(1,2,0)代入偏导数中，得到梯度在该点处的值。
∂f/∂x(1,2,0) = 2*1*2 = 4
∂f/∂y(1,2,0) = 1^2 = 1
∂f/∂z(1,2,0) = 2*0 = 0
因此，梯度在点(1,2,0)处的值为(4,1,0)。
步骤 3：计算方向导数
方向导数是梯度在指定方向上的投影。给定的向量n=(1,2,2)需要先单位化，然后与梯度点乘。
单位化向量n：n' = n / ||n|| = (1,2,2) / sqrt(1^2+2^2+2^2) = (1/3,2/3,2/3)
方向导数 = 梯度点乘单位化向量n' = (4,1,0)·(1/3,2/3,2/3) = 4*(1/3) + 1*(2/3) + 0*(2/3) = 4/3 + 2/3 = 2