8.设 =(x)^3+(y)^3+(z)^3-3xyz, 试问在怎样的点集上gradu分别满足:-|||-(1)垂直于z轴;-|||-(2)平行于z轴;-|||-(3)恒为零向量.-|||-9.设f(x,y)可微,l是R^2上的一个确定向量.倘若处处有 _(1)(x,y)=0, 试问此函数f有何特征?-|||-10.设f(x,y)可微,l1与l2是R^2上的一组线性无关向量.试证明:若 _(i)(x,y)=0(i=1,2), 则-|||-f(x,y)= 常数.

步骤 1：计算gradu
gradu = $\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$
= $\left(3x^2 - 3yz, 3y^2 - 3xz, 3z^2 - 3xy\right)$
步骤 2：gradu垂直于z轴
gradu垂直于z轴意味着gradu与z轴方向的单位向量(0,0,1)的点积为0。
$\left(3x^2 - 3yz, 3y^2 - 3xz, 3z^2 - 3xy\right) \cdot (0,0,1) = 0$
$3z^2 - 3xy = 0$
$z^2 = xy$
步骤 3：gradu平行于z轴
gradu平行于z轴意味着gradu与z轴方向的单位向量(0,0,1)成比例。
$\left(3x^2 - 3yz, 3y^2 - 3xz, 3z^2 - 3xy\right) = k(0,0,1)$
$3x^2 - 3yz = 0$
$3y^2 - 3xz = 0$
$3z^2 - 3xy = k$
解得：$x^2 = yz$，$y^2 = zx$
步骤 4：gradu恒为零向量
gradu恒为零向量意味着gradu的每个分量都为0。
$3x^2 - 3yz = 0$
$3y^2 - 3xz = 0$
$3z^2 - 3xy = 0$
解得：$x = y = z$
【答案】
(1) $z^2 = xy$
(2) $x^2 = yz$，$y^2 = zx$
(3) $x = y = z$

9. 设f(x,y)可微l是R^2上的一个确定向量.倘若处处有 ${f}_{1}(x,y)=0$ ,试问此函数f有何特征?

【解析】
步骤 1：理解 ${f}_{1}(x,y)=0$
${f}_{1}(x,y)=0$ 表示函数f(x,y)在x方向的偏导数处处为0。
步骤 2：分析函数f(x,y)的特征
由于f(x,y)在x方向的偏导数处处为0，这意味着f(x,y)在x方向上是常数。
【答案】
函数f(x,y)在x方向上是常数。

10. 设f(x,y)可微,l1与l2是R^2上的一组线性无关向量.试证明:若 ${f}_{l}(x,y)=0(i=1,2)$ ,则 f(x,y)= 常数.

【解析】
步骤 1：理解 ${f}_{l}(x,y)=0$
${f}_{l}(x,y)=0$ 表示函数f(x,y)在向量l方向的偏导数处处为0。
步骤 2：分析函数f(x,y)的特征
由于f(x,y)在两个线性无关的向量l1和l2方向的偏导数处处为0，这意味着f(x,y)在R^2上是常数。