题目
5、求直线 ) x-z+2=0 y-2z+4=0 . 在平面 x+y-z=0 上的投影.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
直线 $\left \{ \begin{matrix} x-z+2=0\\ y-2z+4=0\end{matrix} \right.$ 可以表示为两个平面的交线。这两个平面的法向量分别是 $\vec{n_1} = (1, 0, -1)$ 和 $\vec{n_2} = (0, 1, -2)$。直线的方向向量 $\vec{d}$ 可以通过这两个法向量的叉乘得到，即 $\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
步骤 2：计算直线的方向向量
$\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 0) \vec{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \vec{k} = (1, 2, 1)$。
步骤 3：确定投影直线的方向向量
投影直线的方向向量 $\vec{d'}$ 应该垂直于平面 $x+y-z=0$ 的法向量 $\vec{n} = (1, 1, -1)$。因此，$\vec{d'}$ 可以通过 $\vec{d}$ 和 $\vec{n}$ 的叉乘得到，即 $\vec{d'} = \vec{d} \times \vec{n}$。
步骤 4：计算投影直线的方向向量
$\vec{d'} = \vec{d} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \vec{j} + (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) \vec{k} = (-3, 2, -1)$。
步骤 5：确定投影直线的方程
投影直线的方程可以通过投影直线的方向向量 $\vec{d'}$ 和直线 $\left \{ \begin{matrix} x-z+2=0\\ y-2z+4=0\end{matrix} \right.$ 上的一个点来确定。直线 $\left \{ \begin{matrix} x-z+2=0\\ y-2z+4=0\end{matrix} \right.$ 上的一个点可以通过解方程组得到，例如，当 $z=0$ 时，$x=-2$，$y=-4$。因此，投影直线的方程为 $\left \{ \begin{matrix} x-y+z-2=0\\ x+y-z=0\end{matrix} \right.$。
直线 $\left \{ \begin{matrix} x-z+2=0\\ y-2z+4=0\end{matrix} \right.$ 可以表示为两个平面的交线。这两个平面的法向量分别是 $\vec{n_1} = (1, 0, -1)$ 和 $\vec{n_2} = (0, 1, -2)$。直线的方向向量 $\vec{d}$ 可以通过这两个法向量的叉乘得到，即 $\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
步骤 2：计算直线的方向向量
$\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 0) \vec{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \vec{k} = (1, 2, 1)$。
步骤 3：确定投影直线的方向向量
投影直线的方向向量 $\vec{d'}$ 应该垂直于平面 $x+y-z=0$ 的法向量 $\vec{n} = (1, 1, -1)$。因此，$\vec{d'}$ 可以通过 $\vec{d}$ 和 $\vec{n}$ 的叉乘得到，即 $\vec{d'} = \vec{d} \times \vec{n}$。
步骤 4：计算投影直线的方向向量
$\vec{d'} = \vec{d} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \vec{j} + (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) \vec{k} = (-3, 2, -1)$。
步骤 5：确定投影直线的方程
投影直线的方程可以通过投影直线的方向向量 $\vec{d'}$ 和直线 $\left \{ \begin{matrix} x-z+2=0\\ y-2z+4=0\end{matrix} \right.$ 上的一个点来确定。直线 $\left \{ \begin{matrix} x-z+2=0\\ y-2z+4=0\end{matrix} \right.$ 上的一个点可以通过解方程组得到，例如，当 $z=0$ 时，$x=-2$，$y=-4$。因此，投影直线的方程为 $\left \{ \begin{matrix} x-y+z-2=0\\ x+y-z=0\end{matrix} \right.$。