题目
设alpha_(1), alpha_(2), alpha_(3)是三元非齐线性方程组Ax = b的三个互不相同的解，且R A. = 2，alpha_(1) = (1, 2, -1)^T，alpha_(2) + alpha_(3) = (0, 1, 3)^T，则Ax = b的通解是()。A. k(2, 3, -5)^T + (1, 2, -1)^TB. k(1, 2, -1)^T + (2, 3, -5)^TC. k_(1)(0, 1, 3)^T + k_(2)(1, 2, -1)^TD. k(2, 3, -5)^T + (0, 1, 3)^T
设$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$是三元非齐线性方程组$Ax = b$的三个互不相同的解，且$R
- A. = 2$，$\alpha_{1} = (1, 2, -1)^T$，$\alpha_{2} + \alpha_{3} = (0, 1, 3)^T$，则$Ax = b$的通解是()。
- A. $k(2, 3, -5)^T + (1, 2, -1)^T$
- B. $k(1, 2, -1)^T + (2, 3, -5)^T$
- C. $k_{1}(0, 1, 3)^T + k_{2}(1, 2, -1)^T$
- D. $k(2, 3, -5)^T + (0, 1, 3)^T$
题目解答
答案
已知 $a_1, a_2, a_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的解，且 $R(A) = 2$，导出组 $Ax = 0$ 的基础解系包含1个解向量。利用已知条件：
\[
a_2 + a_3 - 2a_1 = (0, 1, 3)^T - 2(1, 2, -1)^T = (-2, -3, 5)^T
\]
向量 $(-2, -3, 5)^T$（或其相反向量 $(2, 3, -5)^T$）为导出组的解。取 $a_1 = (1, 2, -1)^T$ 为特解，通解为：
\[
k(2, 3, -5)^T + (1, 2, -1)^T
\]
对应选项 **A**。
\[
\boxed{A}
\]
解析
步骤 1：确定导出组的基础解系
已知 $R(A) = 2$，则导出组 $Ax = 0$ 的基础解系包含 $3 - 2 = 1$ 个解向量。我们需要找到一个非零解向量。
步骤 2：利用已知条件计算导出组的解向量
已知 $\alpha_1 = (1, 2, -1)^T$，$\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 3)^T$。因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的解，所以 $\alpha_2 - \alpha_1$ 和 $\alpha_3 - \alpha_1$ 是导出组 $Ax = 0$ 的解。利用已知条件：
\[ \alpha_2 + \alpha_3 - 2\alpha_1 = (0, 1, 3)^T - 2(1, 2, -1)^T = (-2, -3, 5)^T \]
向量 $(-2, -3, 5)^T$（或其相反向量 $(2, 3, -5)^T$）为导出组的解。
步骤 3：写出非齐次线性方程组的通解
取 $\alpha_1 = (1, 2, -1)^T$ 为特解，通解为：
\[ k(2, 3, -5)^T + (1, 2, -1)^T \]
已知 $R(A) = 2$，则导出组 $Ax = 0$ 的基础解系包含 $3 - 2 = 1$ 个解向量。我们需要找到一个非零解向量。
步骤 2：利用已知条件计算导出组的解向量
已知 $\alpha_1 = (1, 2, -1)^T$，$\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 3)^T$。因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的解，所以 $\alpha_2 - \alpha_1$ 和 $\alpha_3 - \alpha_1$ 是导出组 $Ax = 0$ 的解。利用已知条件：
\[ \alpha_2 + \alpha_3 - 2\alpha_1 = (0, 1, 3)^T - 2(1, 2, -1)^T = (-2, -3, 5)^T \]
向量 $(-2, -3, 5)^T$（或其相反向量 $(2, 3, -5)^T$）为导出组的解。
步骤 3：写出非齐次线性方程组的通解
取 $\alpha_1 = (1, 2, -1)^T$ 为特解，通解为：
\[ k(2, 3, -5)^T + (1, 2, -1)^T \]