题目
1.将x→0时的无穷小 alpha (x)=1-cos (x)^2 ,beta (x)=(e)^(x^2)-1 ,(x)=x(tan )^2x 排列起来,使排在后面的-|||-个是前面一个的高阶无穷小,则正确的排序是 ()-|||-A.α(x),y(x ),β(x) B.β(x),y(x ),α(x)-|||-C.β(x),α(x ),y(x) D.y(x),β(x ),α(x)
题目解答
答案
C. β(x),α(x ),y(x)
解析
步骤 1：计算 $\alpha(x)$ 的极限
我们首先计算 $\alpha(x) = 1 - \cos{x^2}$ 在 $x \to 0$ 时的极限。利用泰勒展开，$\cos{x^2} \approx 1 - \frac{x^4}{2}$，因此 $\alpha(x) \approx \frac{x^4}{2}$。所以，$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x^4} = \frac{1}{2}$，说明 $\alpha(x)$ 是 $x^4$ 的同阶无穷小。
步骤 2：计算 $\beta(x)$ 的极限
接下来计算 $\beta(x) = e^{x^2} - 1$ 在 $x \to 0$ 时的极限。利用泰勒展开，$e^{x^2} \approx 1 + x^2$，因此 $\beta(x) \approx x^2$。所以，$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^2} = 1$，说明 $\beta(x)$ 是 $x^2$ 的同阶无穷小。
步骤 3：计算 $y(x)$ 的极限
最后计算 $y(x) = x\tan^2{x}$ 在 $x \to 0$ 时的极限。利用泰勒展开，$\tan{x} \approx x$，因此 $y(x) \approx x^3$。所以，$\lim_{x \to 0} \frac{y(x)}{x^3} = 1$，说明 $y(x)$ 是 $x^3$ 的同阶无穷小。
步骤 4：比较无穷小的阶数
根据上面的计算，$\alpha(x)$ 是 $x^4$ 的同阶无穷小，$\beta(x)$ 是 $x^2$ 的同阶无穷小，$y(x)$ 是 $x^3$ 的同阶无穷小。因此，$\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的高阶无穷小，$y(x)$ 是 $\beta(x)$ 的高阶无穷小，$\alpha(x)$ 是 $y(x)$ 的高阶无穷小。所以正确的排序是 $\beta(x)$, $y(x)$, $\alpha(x)$。
我们首先计算 $\alpha(x) = 1 - \cos{x^2}$ 在 $x \to 0$ 时的极限。利用泰勒展开，$\cos{x^2} \approx 1 - \frac{x^4}{2}$，因此 $\alpha(x) \approx \frac{x^4}{2}$。所以，$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x^4} = \frac{1}{2}$，说明 $\alpha(x)$ 是 $x^4$ 的同阶无穷小。
步骤 2：计算 $\beta(x)$ 的极限
接下来计算 $\beta(x) = e^{x^2} - 1$ 在 $x \to 0$ 时的极限。利用泰勒展开，$e^{x^2} \approx 1 + x^2$，因此 $\beta(x) \approx x^2$。所以，$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^2} = 1$，说明 $\beta(x)$ 是 $x^2$ 的同阶无穷小。
步骤 3：计算 $y(x)$ 的极限
最后计算 $y(x) = x\tan^2{x}$ 在 $x \to 0$ 时的极限。利用泰勒展开，$\tan{x} \approx x$，因此 $y(x) \approx x^3$。所以，$\lim_{x \to 0} \frac{y(x)}{x^3} = 1$，说明 $y(x)$ 是 $x^3$ 的同阶无穷小。
步骤 4：比较无穷小的阶数
根据上面的计算，$\alpha(x)$ 是 $x^4$ 的同阶无穷小，$\beta(x)$ 是 $x^2$ 的同阶无穷小，$y(x)$ 是 $x^3$ 的同阶无穷小。因此，$\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的高阶无穷小，$y(x)$ 是 $\beta(x)$ 的高阶无穷小，$\alpha(x)$ 是 $y(x)$ 的高阶无穷小。所以正确的排序是 $\beta(x)$, $y(x)$, $\alpha(x)$。